Cuando hablamos de
magnitudes
las clasificamos en dos grandes grupos: las escalares y las vectoriales.
En el presente artículo nos ocuparemos de estas últimas.
Lo primero que suele preguntarse un alumno cuando comienza este tema es
¿Cómo reconozco a una magnitud vectorial?
La respuesta es otra pregunta que debemos hacernos...
¿hacia dónde?
Pongamos un ejemplo para entender de que estamos hablando.
El desplazamiento es una magnitud vectorial, ya que podemos desplazarnos
hacia la derecha, o hacia la izquierda, arriba o abajo. Es el motivo por
el que podemos responder sin problemas la pregunta "¿hacia
donde?"
Posiblemente tengas algunas monedas en tu bolsillo, si sumamos sus
valores nos dará una magnitud (un valor), pero la pregunta ¿hacia dónde?
carece de sentido en este caso... por que estamos frente a una magnitud
escalar. Sólo podemos indicar una cantidad.
La pregunta ¿hacia dónde? apunta a dos características importantes de
las magnitudes escalares, la dirección y el sentido.
El lenguaje coloquial (el que usamos todos los días) puede permitirse
ser ambiguo, una palabra puede tener más de un significado. Esto no
ocurre en ciencias como la matemática (o la física) donde cada término
sólo puede tener un significado, de manera que no hay equivocación
cuando nos referimos a él.
En el lenguaje de todos los días dirección y sentido son casi sinónimos, pero para las magnitudes vectoriales esto no es así. La dirección es la recta donde se ubica la magnitud vectorial, mientras que el sentido es hacia dónde se dirige sobre la recta (sobre la dirección).
Mira la foto de la avenida de doble mano que aparece a la derecha de
este párrafo. La avenida representa la recta de acción. Todo auto que la
recorra tendrá "esa" dirección. Ahora La calle tiene dos manos, dos
sentidos. El que se desplace hacia adelante será positivo y el que vaya
en sentido contrario, negativo.
Si
ubicamos una calle perpendicular a la primera tendremos a los ejes
cartesianos.
Dentro de los ejes cartesianos tenemos infinitos puntos, pero sólo
necesitamos dos. Inventemoslos indicando sus coordenadas.
Primero pongamos al punto A cuyas coordenadas
puede ser (1, 1). Luego inventamos al punto B cuyas coordenadas
serán (4, 5).
Por los dos puntos pasa una sola recta (que es la dirección de la
magnitud vectorial) Ahora bien, tenemos dos posibilidades para el
sentido, que vaya de A a B o de B a A. Para poder entender este concepto
y hacerlo más fácil, ubiquemos una flecha cuya punta esté apunte primero
a B (ya que su sentido va de A a B) y llamémosla AB. La otra flecha
posible tendrá la punta en A y su comienzo en B, y le llamaremos BA.
En el dibujo podemos ver claramente los dos sentidos posibles. Esa
flecha o segmento orientado lleva el nombre de
vector.
Es interesante destacar que todo vector tiene un origen (A por ejemplo)
y un final (B), así que el Vector AB. Si ubicamos el eje de coordenadas
en el punto A (línea gris) nos queda que tanto A como B cambian de
coordenadas. Las nuevas coordenadas de B corresponde a la resta de las
coordenadas que A y B tenían anteriormente.
Pero no debemos confundirnos coordenadas de puntos con los complementos
de un vector. Los valores asociados al vector AB se denominan
componentes. Así A tiene coordenadas (1,1), B tiene coordenadas (4,5)
pero el vector de AB tienen como componentes 3 y 4. Seguimos teniendo un
par ordenado, AB = (3, 4).
Así que para hallar los componentes de un vector restando las
coordenadas de sus extremos.
Calcula tú al vector BA para que sea (–3, – 4).
Generalicemos:
Sea A = (a, b) y B = (c, d); el vector AB lo calcularemos haciendo la diferencia entre las coordenadas de sus puntos. Siempre se comienza por el extremo final.
AB = B – A = (a, b) – (c, d) =
(c – a, d – b)
El problema aquí es que puedes confundir los puntos (4, 5) y (1,1) con el vector (3, 4) ya que ambos son pares ordenados.
Es muy importante indicar el origen del vector por que existen infinidad de vectores (3, 4) dependiendo del punto de origen. Y todos estos vectores poseen direcciones paralelas, o sea, pertenecen a diferentes rectas paralelas.
Todo vector posee posee dirección y sentido, pero además aparece una
tercera característica que es la magnitud escalar del mismo llamada
norma (o módulo).
Hay que destacar que la norma y el módulo no son sinónimos, la norma se
refiere a la longitud del vector mientras que el módulo está asociado a
un número. Por eso la norma se escribe con una doble línea,
encerramos al vector entre dos líneas, ||AB|| mientras que el módulo se
escribe encerrando un número entre líneas simples, |5|.
Para calcular la longitud del vector aplicamos Pitágoras:
De aquí en adelante el origen de los vectores
será siempre el origen de coordenadas, por lo tanto se designará a un
vector sólo con el punto que determina su extremo.
Sea A un vector de n dimensiones, A = {a1,
a2, a3, . . . an}
llamamos módulo, norma o simplemente longitud del vector al valor
numérico (escalar) determinado por:
Resta
de Vectores:
Restar
dos vectores geométricamente implica "trazar" un tercer vector desde el
extremo del primero hasta el extremo del segundo. Aritméticamente
restamos las componentes verticales y horizontales entre sí.
A = (7, 2)
B = (5, 4)
A - B = (7, 2)
- (5, 4) = (7 - 5,
2 - 4) = (2, - 2)
El origen de los vectores A y B es la coordenada de origen,
Suma de Vectores
Si tenemos dos vectores podemos sumarlos y hallar un tercero (
llamado en física: resultante). Hay
autores que indican que una magnitud es vectorial si se los puede sumar
mediante en método del paralelogramo.
Método del paralelogramo: es un
método geométrico en el cual trazamos dos segmentos paralelos a la
dirección de cada vector, por los extremos de los mismos. Uniendo la
intersección de los vectores y de los segmentos paralelos (puntos en
color) obtendremos el vector suma.
Analíticamente, se suman las componentes.
En ambos casos los vectores tienen su origen en el punto (0, 0)
A = (0, 5)
B = (5, 4)
A + B = (0,5) + (5,4) = (0 + 5, 5 + 4) = (5,
9)
