Ecuaciones

Podemos definir a las ecuaciones como una igualdad entre expresiones algebraicas (sucesión de términos constituidos de números y letras, cada término es separado del otro por un signo "+" ó "-"), en la que intervienen una o más letras, llamadas incógnita (cuyo valor hay que averiguar).
Las expresiones que están a ambos lados del signo igual son los miembros de la ecuación: primer miembro el de la izquierda, segundo miembro el de la derecha. Se denomina solución de una ecuación a un valor o conjunto de valores de la incógnita (x), para los cuales se verifica la igualdad.

Una ecuación puede tener  ninguna, una o varias soluciones.

Por ejemplo:

5x – 9 = 1 es una ecuación con una incógnita con una solución, x = 2

x ² + y ² + 5 = 0 es una ecuación con dos incógnitas sin solución en el conjunto de los reales, pues la suma de dos cuadrados es un número positivo, a partir del cual no se puede obtener 0 sumándole 5.

2x + 3y = 15 es una ecuación con dos incógnitas que tiene infinitas soluciones, algunas de las cuales son: a) x = 0, y = 5; b)  x = 3, y = 3; c) x = 30, y = –15.

Dos ecuaciones se llaman equivalentes si tienen las mismas soluciones o ambas carecen de solución.

Así, la ecuación 3x – 7 = x + 1 es equivalente a 2x – 8 = 0 porque ambas tienen como solución única x = 4.

Tipos de Ecuaciones

Las ecuaciones con una incógnita suelen tener un número finito de soluciones, mientras que en las ecuaciones con varias incógnitas encontramos infinitas soluciones, las que suelen ser estudiadas cuando forman sistemas de ecuaciones. 

Podemos encontrar distintos tipos de ecuaciones con una incógnita: polinómica, racionales, exponenciales, trigonométricas…

Las ecuaciones polinómicas son de la forma P_(x) = 0, donde P_(x) es un polinomio en x, que al trasponer términos y simplificar adoptan esa expresión. 

3x³ - 5x² + 3x + 2 = 0 es una ecuación polinómica.

Las ecuaciones polinómicas de primer grado, ax + b = 0, se llama ecuación lineal. 

5x + 7 = 3  (es lineal). 

(x – 5)² + 3 = x² – 1 Es una ecuación de grado dos sólo en apariencia. No hay que dejarse engañar, esta ecuación también es lineal. Al desarrollar y simplificar se obtiene:  –10x + 29 = 0. (la que llamaremos ecuación equivalente)

Las ecuaciones polinómicas de segundo grado que responden a la estructura: ax² + bx + c = 0, se las denomina  cuadráticas. 

Son ecuaciones de este tipo: x² - 5x + 3 = 0, ó (x – 2)² + 7x =5 + x. 

En este caso, se despeja x de manera que al final queda una ecuación cuadrática, o sea, un polinomio de grado dos.

Las ecuaciones radicales son aquellas en las que la incógnita está bajo un signo radical, como:

Las ecuaciones racionales son ecuaciones en las que aparecen cocientes de polinomios; por ejemplo:

En las ecuaciones exponenciales la incógnita está en un exponente: 2^x = 8

En las ecuaciones logarítmica (inversa de las de tipo exponencial) la incógnita se encuentra afectada por el logaritmo, acordarse que la solución debe estar de acuerdo con el dominio de la función logarítmica): log (x + 1) = 10.

En las ecuaciones trigonométricas la incógnita está afectada por alguna función trigonométrica; por ejemplo:

sen (^p/₄ + x) – cos x = 1

Resolución de Ecuaciones

Resolver una ecuación es hallar su solución (soluciones), o podemos llegar a la conclusión que no tiene solución. Para resolver una ecuación, se pasa a otra equivalente cuya  apariencia sea más sencilla. Para averiguar el valor de x debe despejarse la letra incógnita. Para ello nos valemos de una propiedad matemática (propiedad uniforme) que nos permite poner un mismo número en ambos miembros de la expresión algebraica, siempre y cuando se mantenga la igualdad.

4x – 7 = 1 (tenemos esta ecuación)

4x – 7 + 7 = 1 + 7 

(Para que el – 7 se anule le sumamos 7, por eso se dice que un número que está restando "pasa" sumando).

4x = 1 + 7 

4x = 8

4x : 4 = 8 : 4 

(Para anular el cuatro que está multiplicando dividimos ambos miembros por 4, por eso se dice que un numero que está multiplicando "pasa" dividiendo)

Tiene una única solución: x = 2.

Sin embargo, hay tipos de ecuaciones para cuya resolución se requieren técnicas especiales. Es el caso, por ejemplo, de las ecuaciones cuadráticas y bicuadradas.

Resolución de Ecuaciones Cuadráticas

No existe una única forma de escribir la ecuación cuadrática.

Generalmente las ecuaciones cuadráticas se presentan de la forma polinómica: 

 f_(x) = ax² + bx + c

la que se resuelve mediante la ecuación cuadrática

Por ejemplo, la ecuación 2x² + 5x + 3 = 0 de coeficientes

a = 2  (el valor que se halla al lado de x²)

b = 5  (el valor que se halla al lado de x)

c = 3  (el valor que se halla solo)

Se reemplaza cada letra por su valor en la fórmula y se resuelve obteniendo como máximo dos valores. Puede ser uno o ninguno.

Casos especiales

Las ecuaciones de segundo grado de los tipos siguientes se llaman incompletas porque les falta uno de los términos:

ax² + bx = 0

ax² + c = 0

Se pueden resolver aplicando la fórmula general, pero es más cómodo resolverlas despejando directamente la x.

En el primer caso:

ax² + bx = 0 → (ax + b)x = 0

Como queda una multiplicación que da cero, una o ambas deben dar cero así que: una solución es x = 0
y la otra se obtiene resolviendo la ecuación lineal ax + b = 0. 

Por ejemplo: 3x² + 5x = 0 → (3x + 5) x = 0 → 3x + 5 = 0 ó x = 0,  despejando x concluimos que las soluciones son) x = 0 y x = – 5/3.

En el segundo caso:

Resolución de ecuaciones bicuadradas

Se llama bicuadrada a una ecuación polinómica de cuarto grado que no tiene términos de grado impar: ax⁴ + bx² + c = 0 (1)

Si se realiza el cambio de variable x² = Z, con lo cual x⁴ = Z², entonces se transforma en una ecuación de segundo grado: 

aZ² + bZ + c = 0 (2) Cada una de sus soluciones puede dar lugar a dos, una o ninguna solución de la ecuación inicial. Así, si Z es solución de la ecuación (2). 

Y como Z = x², para calcular los valores de x debemos reemplazar por el valor de Z y sacar el módulo de x por lo que tendremos cuatro valores al final de la operación.

Por ejemplo, la ecuación bicuadrada: x⁴ – x² – 12 = 0  se transforma, mediante el cambio de variable x² = z, en la ecuación de segundo grado: z² – z – 12 = 0 

Cuyas soluciones son:

Por tanto, las únicas raíces reales de la ecuación son x₁ = 2, x₂ = – 2.

Sistema de ecuaciones:

Conjunto de ecuaciones cuyas soluciones comunes se pretende hallar. Para indicar que varias ecuaciones forman un sistema, se abarca el conjunto de todas ellas con una llave.

Las ecuaciones de un sistema suelen tener dos o más incógnitas, por lo que cada una de ellas puede tener infinitas soluciones. Se llama solución del sistema a una solución común a todas las ecuaciones que lo forman. Resolver un sistema de ecuaciones es hallar todas sus soluciones o concluir que no tiene solución. Si dos sistemas de ecuaciones tienen las mismas soluciones o ambos carecen de solución, se dice que son equivalentes.

Los sistemas de ecuaciones sin solución se llaman incompatibles y los que tienen solución, compatibles. Dentro de los sistemas compatibles podemos tener: sistemas compatibles determinados, que tienen una sola solución o los indeterminados que tienen infinitas soluciones. 

Sistemas de Ecuaciones Lineales:  

Una ecuación con varias incógnitas es lineal si es de la forma:

 ax + by = c,     ó     ax + by + cz = d, …,

es decir, si las incógnitas aparecen sin exponentes (elevadas a 1).

Repitamos para que quede claro: Un sistema de ecuaciones lineales compatible, o bien tiene solución única (es determinado), o tiene infinitas soluciones (es indeterminado).

Existen varios métodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones: el método de sustitución, el método de igualación y el método de reducción. A continuación se aplican en la resolución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.

El método de sustitución consiste en despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones y sustituir su expresión en la otra, la cual se transformará en una ecuación con una incógnita que se puede resolver. Una vez conocido el valor de dicha incógnita se obtiene, de inmediato, el valor de la otra. 

La solución de este sistema es x = 3,  y = - 2 porque es solución de ambas ecuaciones. Es, por tanto, un sistema compatible.

El método de igualación consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualar sus expresiones, obteniendo así una ecuación con una incógnita. Una vez resuelta se obtiene fácilmente el valor de la otra incógnita.

Para resolver por igualación el sistema anterior, se puede despejar la x en ambas ecuaciones e igualar sus expresiones:

El método de reducción consiste en procurar que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en las dos ecuaciones para que, al restarlas miembro a miembro, se elimine dicha incógnita, dando lugar a una ecuación con sólo la otra incógnita. Se resuelve dicha ecuación y el valor de la incógnita se sustituye en una de las ecuaciones primitivas, y con ello se puede obtener el valor de la otra incógnita.

Para resolver por reducción el mismo sistema:

se multiplican los dos miembros de la primera ecuación por 2 con el fin de que el coeficiente de la x sea el mismo en ambas ecuaciones: 

4x – 10y = 32  y  4x + y = 10

Ahora, restando miembro a miembro se obtiene la ecuación siguiente:

– 11 y = 22 Þ y = 22 : (– 11) Þ y = – 2.

Y se sustituye en una de las ecuaciones iniciales:

2x – 5(–2) = 16 Þ 2x + 10 = 16 Þ 2x = 6 Þ x = 3

La solución es  x = 3,  y = -2.

Representación gráfica: 

La representación de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas consiste en un par de rectas, si éstas se cortan, el sistema es compatible determinado y las coordenadas del punto de corte son la solución del sistema. Si las rectas son paralelas, el sistema es incompatible. Si las rectas son coincidentes (son la misma recta), el sistema es compatible indeterminado: sus soluciones son todos los puntos de la recta.

Por ejemplo, el sistema de ecuaciones

Se trazan ambas rectas y el punto donde se cortan es la solución del sistema.

El punto en que se cortan las rectas, (2,1), es la solución del sistema: x = 2, y = 1.

Una ecuación lineal con tres incógnitas, ax + by + cz = d, se representa generalmente mediante un plano en un sistema de R³. La representación de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas consiste en tres planos cuya posición relativa determina que el sistema sea compatible o incompatible. Si los tres planos se cortan en una recta, el sistema es compatible indeterminado, pues tiene infinitas soluciones. Si no se cortan (no existe ningún valor para x, y, z) el sistema es incompatible.

Si el sistema de ecuaciones con tres incógnitas puede ser representado por rectas en un espacio (por lo menos cuatro dimensiones), en ese caso si las tres se cortan en un punto el sistema es compatible determinado.

Resolución de ecuaciones racionales

En este caso tenemos "fracciones" con polinomios. Se recomienda factorizar siempre el denominador para poder buscar el denominador común y reducir la operación a un polinomio (generalmente de primer o segundo grado) al que se lo resuelve como una ecuación común.

Factorizamos el denominador que no sea lineal.

Se opera igual que una suma de fracciones, se tiene a (x – 1) y (x + 1) como factor común en los denominadores de ambos miembros.

Se simplifican los denominadores quedando una ecuación lineal. 

Se despeja x.

Resolución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas

En este tipo de ecuaciones se debe tener presentes las propiedades de logaritmos ya que las funciones exponenciales y logarítmicas son inversas una de otras.

Ecuación exponencial:

Aplicamos logaritmo a ambos miembros de la ecuación. 

Al resolverse el logaritmo queda una ecuación  la que puede ser lineal o cuadrática. De ser cuadrática se aplica la ecuación para resolverla. 

En este caso es lineal así que se despeja x. 

Aplicamos definición de logaritmo. 

Como no hay ningún número que indique la base del logaritmo, la base es 10. 

Por definición, el resultado del logaritmo es la potencia, así que queda 10².

Al quedar una ecuación se despeja x.

(Continuará ...)