vectores

Cuando hablamos de magnitudes las clasificamos en dos grandes grupos: las escalares y las vectoriales. En el presente artículo nos ocuparemos de estas últimas.

Lo primero que suele preguntarse un alumno cuando comienza este tema es ¿Cómo reconozco a una magnitud vectorial?

La respuesta es otra pregunta que debemos hacernos... ¿hacia dónde?

Pongamos un ejemplo para entender de que estamos hablando.

El desplazamiento es una magnitud vectorial, ya que podemos desplazarnos hacia la derecha, o hacia la izquierda, arriba o abajo. Es el motivo por el que podemos responder sin problemas la pregunta "¿hacia donde?"

Posiblemente tengas algunas monedas en tu bolsillo, si sumamos sus valores nos dará una magnitud (un valor), pero la pregunta ¿hacia dónde? carece de sentido en este caso... por que estamos frente a una magnitud escalar. Sólo podemos indicar una cantidad.

La pregunta ¿hacia dónde? apunta a dos características importantes de las magnitudes escalares, la dirección y el sentido.

El lenguaje coloquial (el que usamos todos los días) puede permitirse ser ambiguo, una palabra puede tener más de un significado. Esto no ocurre en ciencias como la matemática (o la física) donde cada término sólo puede tener un significado, de manera que no hay equivocación cuando nos referimos a él.

En el lenguaje de todos los días dirección y sentido son casi sinónimos, pero para las magnitudes vectoriales esto no es así. La dirección es la recta donde se ubica la magnitud vectorial, mientras que el sentido es hacia dónde se dirige sobre la recta (sobre la dirección).

Mira la foto de la avenida de doble mano que aparece a la derecha de este párrafo. La avenida representa la recta de acción. Todo auto que la recorra tendrá "esa" dirección. Ahora La calle tiene dos manos, dos sentidos. El que se desplace hacia adelante será positivo y el que vaya en sentido contrario, negativo.

Si ubicamos una calle perpendicular a la primera tendremos a los ejes cartesianos.

Dentro de los ejes cartesianos tenemos infinitos puntos, pero sólo necesitamos dos. Inventemoslos indicando sus coordenadas.

Primero pongamos al punto A cuyas coordenadas puede ser  (1, 1). Luego inventamos al punto B cuyas coordenadas serán (4, 5).

Por los dos puntos pasa una sola recta (que es la dirección de la magnitud vectorial) Ahora bien, tenemos dos posibilidades para el sentido, que vaya de A a B o de B a A. Para poder entender este concepto y hacerlo más fácil, ubiquemos una flecha cuya punta esté apunte primero a B (ya que su sentido va de A a B) y llamémosla AB. La otra flecha posible tendrá la punta en A y su comienzo en B, y le llamaremos BA.

En el dibujo podemos ver claramente los dos sentidos posibles. Esa flecha o segmento orientado lleva el nombre de vector.

Es interesante destacar que todo vector tiene un origen (A por ejemplo) y un final (B), así que el Vector AB. Si ubicamos el eje de coordenadas en el punto A (línea gris) nos queda que tanto A como B cambian de coordenadas. Las nuevas coordenadas de B corresponde a la resta de las coordenadas que A y B tenían anteriormente.

Pero no debemos confundirnos coordenadas de puntos con los complementos de un vector. Los valores asociados al vector AB se denominan componentes. Así A tiene coordenadas (1,1), B tiene coordenadas (4,5) pero el vector de AB tienen como componentes 3 y 4. Seguimos teniendo un par ordenado, AB = (3, 4).

Así que para hallar los componentes de un vector restando las coordenadas de sus extremos.

Calcula tú al vector BA para que sea (–3, – 4).

Generalicemos:

Sea A = (a, b) y B = (c, d); el vector AB lo calcularemos haciendo la diferencia entre las coordenadas de sus puntos. Siempre se comienza por el extremo final. 

AB = B – A = (a, b) – (c, d) = (c – a, d – b) 

El problema aquí es que puedes confundir los puntos (4, 5) y (1,1) con el vector (3, 4) ya que ambos son pares ordenados. 

Es muy importante indicar el origen del vector por que existen infinidad de vectores (3, 4) dependiendo del punto de origen. Y todos estos vectores poseen direcciones paralelas, o sea, pertenecen a diferentes rectas paralelas.

Todo vector posee posee dirección y sentido, pero además aparece una tercera característica que es la magnitud escalar del mismo llamada norma (o módulo).

Hay que destacar que la norma y el módulo no son sinónimos, la norma se refiere a la longitud del vector mientras que el módulo está asociado a un número. Por eso la norma se escribe con una doble línea, encerramos al vector entre dos líneas, ||AB|| mientras que el módulo se escribe encerrando un número entre líneas simples, |5|.

Para calcular la longitud del vector aplicamos Pitágoras:

De aquí en adelante el origen de los vectores será siempre el origen de coordenadas, por lo tanto se designará a un vector sólo con el punto que determina su extremo.

Sea A un vector de n dimensiones, A = {a₁, a₂, a₃, . . . a_n} llamamos módulo, norma o simplemente longitud del vector al valor numérico (escalar) determinado por:

Resta de Vectores:

Restar dos vectores geométricamente implica "trazar" un tercer vector desde el extremo del primero hasta el extremo del segundo. Aritméticamente restamos las componentes verticales y horizontales entre sí.

A = (7, 2)

B = (5, 4)

A - B = (7, 2) - (5, 4) = (7 - 5, 2 - 4) = (2, - 2)

El origen de los vectores A y B es la coordenada de origen, 

Suma de Vectores

Si tenemos dos vectores podemos sumarlos y hallar un tercero (llamado en física: resultante). Hay autores que indican que una magnitud es vectorial si se los puede sumar mediante en método del paralelogramo. 

Método del paralelogramo: es un método geométrico en el cual trazamos dos segmentos paralelos a la dirección de cada vector, por los extremos de los mismos. Uniendo la intersección de los vectores y de los segmentos paralelos (puntos en color) obtendremos el vector suma.

Analíticamente, se suman las componentes. 

En ambos casos los vectores tienen su origen en el punto (0, 0)

A = (0, 5)

B = (5, 4)

A + B = (0,5) + (5,4) = (0 + 5, 5 + 4) = (5, 9)