Para poder entender este
tema empecemos por un simple problema y veamos para que sirve estos
elementos matemáticos.
"En un criadero de conejos cada hembra tiene cinco
crías cada tres meses de gestación, si contamos a la cría de una sola
pareja, indicar cuantos conejos habrá en cinco períodos de cría:
1er Período
|
2do Período
|
3er Período
|
4to Período
|
5to Período
|
5
|
5 + 5 = 10
|
10 + 5 = 15
|
15 + 5 = 20
|
20 + 5 = 25
|
¿Qué hacemos para calcular la cantidad de conejos en
cada período? Sencillamente a la cantidad de crías del período anterior
le sumamos cinco.
Si llevamos estos datos a un par de ejes cartesianos
de manera que los períodos se ubiquen sobre las abscisas y la cantidad
de crías en las ordenadas, a partir del gráfico, podemos indicar la
cantidad de crías que tendrían en cualquier período.
Siendo "x" el número de períodos y "C(x)"
la cantidad de crías ¿Cómo expresaríamos con una ecuación la cantidad de
crías en función del tiempo (períodos)? Los períodos sucesivos los
encontramos sumando el anterior 5, o sea multiplicamos en número del
período por cinco.
C(x) = 5
x
b) Supongamos que ahora analizamos un cultivo de
bacterias, las que se reproducen cada 0,2 seg. (se dividen por la
mitad). Completemos el cuadro de los primeros cinco períodos.
1er Período
|
2do Período
|
3er Período
|
4to Período
|
5to Período
|
2
|
2.2 = 4
|
4 . 2 = 8
|
8 . 2 = 16
|
16 . 2 = 32
|
¿Qué se hace para calcular la cantidad de bacterias
en cada período? Nuevamente utilizamos la cantidad de individuos del
período anterior, sólo que esta vez lo multiplicamos por 2.
Si llevamos estos datos a un par de ejes cartesianos
de manera que los períodos se ubiquen sobre las abscisas y la cantidad
de bacterias en las ordenadas, a partir del gráfico, podemos indicar la
cantidad de estos microbios que habría en cualquier período. La
diferencia con el anterior es que tenemos que tener en cuenta que
partimos de un individuo (que al partirse se convierte en dos).
En este caso la ecuación matemática a la que responde
la división de las bacterias es diferente a la anterior de los conejos.
Sigamos utilizando a la x para indicar el número del período.
En el primer período tenemos 2, en el segundo 2 . 2 =
22 ,
en el tercero 2 . 2 . 2 = 23,
Si
generalizamos tenemos que en el período "n" el número de
bacterias es 2 n.
Así que la ecuación es: C(x)
= 2x
Volvamos al problema de los conejos.
Si tenemos 125 crías ¿cuántos períodos han pasado?
Utilizando la ecuación que encontramos: 5x
= 125, despejemos,
x = 125 / 5 = 25.
Necesitamos 25 períodos.
Si tenemos 512 bacterias ¿Cuántos períodos han
pasado?
Utilicemos la ecuación: 2x
= 512
Evidentemente el problema se complica un poco. Para
encontrar la respuesta a esta cuestión debemos hallar el exponente al
que está elevado
Primero recordemos algo de primer año:
Cuando en primer año viste potencia se dijo que : "la
base (a) elevada al exponente (b) nos da como resultado igual que
multiplicar "b" veces "a"
ab = a1. a2. a3.
a4 ... ab = C
ej: 7 3 = 7.7.7 = 343
Ahora estamos buscando el exponente al que está
elevado, número que pusiste en la fórmula para hallar la cantidad de
bacterias, para ello nos vemos obligados a buscar una operación
matemática que no conocías, el logaritmo.
Por definición:
Log a C =
b únicamente si a b =
C
(Se lee " logaritmo en base a
de C
")
De allí que para calcular el período en que tenemos
512 bacterias necesitamos conocer el exponente al que hemos elevado a
"2".
Entonces:
Ya que trabajamos con potencias vamos a descubrir las
cuatro propiedades que deberemos aplicar de ahora en adelante en
logaritmos.
Resolvamos : 22.23.24
= 2 (2 + 3 + 4) = 2 9
El "producto de potencias de igual base" es
una propiedad que nos indica que podemos sumar las potencias cuando
operamos con multiplicaciones de este tipo. Como trabajamos con
potencias al aplicar logaritmos, traslademos esta propiedad al tema que
estamos tratando. Si tenemos una multiplicación y aplicamos logaritmos
se transformará en este se trasformará en suma.
En cuanto a la división, como las potencias se
restan, al aplicar logaritmos se transforman en resta.
Ej. x = a . b
® log x = log a + log b
x = a / b ®
log x = log a – log b
Resolver :(a2 )3 = a2
. a2 . a2 = a2 + 2 + 2 = a 2 . 3
= a 6
Resumiendo:(a2 )3 = a2 . 3 = a6
En "potencia de potencia", las potencias se
multiplican. Por eso, cuando aplicas logaritmo a un número elevado a una
potencia, el exponente pasa multiplicando al logaritmo de la base. En
cuanto a la raíz, que es una potencia fraccionaria, la fracción baja
para multiplicar al logaritmo. La fracción es una división entre
enteros, así que el denominador, en realidad, está dividiendo.
Ej.: x = a b
® log x = b . log a
Logaritmos de base diez: Cuando
escribimos la palabra "log" y no aclaramos de que base se trata, se toma
(por convención o acuerdo) que la base es diez.
En tu calculadora vas a encontrar una tecla que dice
log. Esta tecla halla automáticamente el logaritmo de base diez.
Log 2 = ....................
En la mayoría de las
calculadoras basta con poner el 2 y después apretar la tecla log.
El resultado es la potencia a la que tienes que
elevar a 10 para que te de 2.
10 ..... = 2
Si tenemos el valor del logaritmo y queremos saber el
valor del número al que le hemos efectuado esta operación también
utilizamos la calculadora:
log .............. = 0,301029996
Para ello teclea
este número en tu calculadora, aprieta Shift o 2ndf, según la
calculadora que tengas (suele aparecer con otro color ), después la
tecla log.
Cambio de base:
El concepto de cambio de base deriva de la definición
de logaritmo.
Pongamos un ejemplo para entender mejor el
procedimiento.
x = log2 32 (por definición de
logaritmo)
2x = 32 (aplicamos logaritmo, recuerden que
sucede con la potencia)
x . log 2 = log 32 (despejamos x)
Hemos cambiado la base del logaritmo que aplicamos a
la operación trasformándola en una división del logaritmo de la base y
el logaritmo del número. En este caso, al principio estaba en base dos y
la cambiamos a base diez.
Generalizando:
Logaritmo Neperiano o Natural.
Los logaritmos son operaciones matemáticas
ampliamente usadas, es por eso que los hallamos en las calculadoras
científicas. Entre todos los números que se pueden emplear como base
encontramos dos que son los más difundidos:
a) Log (que ya lo hemos visto)
b) La otra base es un valor constante denominado e
(2,718281828) cuyo logaritmo, para diferenciarlo del anterior, se
denomina logaritmo natural o neperiano. Se escribe ln. Por
supuesto que para calcularlo también podemos utilizar la calculadora,
basta con teclear el número y luego la tecla ln.
Logaritmos de base diez: Cuando escribimos la palabra
"log" y no aclaramos de que base se trata, se toma ( por convención o
acuerdo ) que la base es diez.
En tu calculadora vas a encontrar una tecla que dice
ln. Esta tecla halla automáticamente el logaritmo de base e.
ln 2 = ...... (En la mayoría de las calculadoras
basta con poner el 2 y después apretar la tecla ln )
El resultado es la potencia a la que tienes que
elevar a e para que te de 2.
e ..... = 2
Si tenemos el valor del logaritmo neperiano y
queremos saber el valor del número al que le hemos efectuado esta
operación también utilizamos la calculadora:
ln ........ = 0,301029996
Para ello teclea este
número en tu calculadora, aprieta Shift o 2ndf, según la
calculadora que tengas (suele aparecer con otro color), después la
tecla ln.
Por supuesto no vamos a obtener los mismos resultados
ya que la base cambió pero el manejo de la calculadora es el mismo.
Antiguamente los logaritmos eran utilizados para
resolver cuentas extremadamente grandes, con el advenimiento de la
calculadora hoy se los utiliza para resolver ecuaciones solamente. Pero
eso no quiere decir que se los utilice menos sino que se han agilizado
los cálculos y ustedes no tienen que perder tiempo resolviendo cuentas.
Función
Logarítmica:
Son funciones donde el
dominio debe ser mayor que cero, pues
no existe el logaritmo de cero ni de un número negativo, el por que de
dicha característica reside en el hecho que al elevar una base positiva
nunca puede obtenerse como resultado un valor negativo ni menor de cero.
Para hallar el dominio de la función conviene establecer una inecuación
con la función afectada por el logaritmo (u(x)
> 0) y despejar x. La solución de dicha inecuación será el
dominio de la función (siempre y cuando no se encuentre una variable
x por fuera del logaritmo).
La imagen de la función abarca a
todo el conjunto de los números reales.
f(x) =
ln ( u(x))
Dominio : u(x)
> 0
Imagen: R. (reales)
Ejercicios
1) Hallar el
logaritmo de:
a) log2 4 =
b) log3 27 =
c) log2 16 =
d) log5 125 =
e) log3 243 =
|
f) log2 0,5 =
g) log2 0,25 =
h) log2 0,125 =
i) log6 216 =
j) log 100000 =
|
Rta.: a) 2, b) 3, c) 4, d) 3 e) 5, f) – 1, g) – 2, h) – 3, i) 3, j) 5
2) Resolver aplicando las
propiedades de logaritmos.
a) log (5 . 3) =
b) log (23 . 3) =
c) log (7 : 3) =
d) log (2 . 3 : 4)5
=
Solución.:
a) log 5 + log 3
b) 3. log 2 + log 3
c) log 7 – log 3
d) 5. (log 2 + log 3 – log 4)
3) Cambio de base:
a) log2 5 =
c) log3 7 =
b) log32 =
d) log5 24 =
Solución.:
a) log 5 / log 2, b) log 2 / log 3,
c) log 7 / log 3, d) log 24 / log 5.
4) Ecuaciones:
Solución.: a) 2 ; b) – 4 y 4;
c) 2; d) 2,3 y – 1,3;
e) 2.
5) Para determinar la edad de
una roca la ciencia actualmente ha podido desarrollar una técnica basada en la
concentración de material radiactivo en su interior. Cuanto más joven es la roca
mayor concentración de material radiactivo encontraremos. C(x)
= k. 3 –t
es la fórmula que se utiliza, donde C (x)
representa la concentración del material radiactivo, t el tiempo transcurrido
medido en cientos de años y "k" la concentración del elemento en el momento de
formarse la roca. Si k = 4500 a)¿Cuánto tiempo debe haber pasado para que
hallemos una concentración de 1500?; b) ¿Qué concentración tendríamos al cabo de
dos siglos?; c)¿En qué tiempo se acabaría este material?.
Solución.: a) como t = 1, pasaron
cien años. b) 1,7 .10 – 92 c) La ecuación no tiene como resultado el número cero, por lo que teóricamente
siempre quedaría un mínimo resto de material radiactivo.
