Teorema de Thales

Dibujemos un segmento cualquiera y llamémosle ab. En base a este segmento dibujemos otro de manera que este nuevo segmento sea tres veces mayor que ab. O sea cf = 3 ab.

Repitamos la operación. 

Tracemos un nuevo segmento que sea de distinta longitud que ab (llamémosle gh). Nuevamente, en base a gh, dibujemos otro de manera que este segmento contenga tres veces a gh. O sea il = 3 gh

Queda claro que en ambos casos el cociente de la división entre el segmento mayor y el menor dará como resultado 3.

Los segmentos no son iguales entre sí, pero la división nos da una igualdad. Esta propiedad se denomina proporción; cada par de segmentos es proporcional entre si.

Tracemos dos rectas cualesquiera y (por que se me antoja) las llamaré Juanito (color rojo) y Pedrito (color verde).

Puedo trazar infinitas rectas paralelas, pero por cuestión de espacio sólo trazaré 5 de manera que corte a ambas rectas y para simplificar nuestro entendimiento cada paralela estará a igual distancia de la que le sigue.

Cada una de las rectas queda subdividida en partes, cada parte es un segmento al que le pondremos una letra para poder identificarlo.

Como las paralelas están a igual distancia una de otras ¿como son los segmentos que se hallan en cada una de las rectas?

Ahora estamos en condiciones de entender el enunciado del primer teorema de Thales.

"Si tres o más rectas paralelas son cortadas por dos rectas transversales, la razón de dos segmentos cualesquiera de una de ellas, es igual a la razón de los segmentos correspondientes en la otra."

En palabras más simples, tomando dos segmentos, ubicados en el mismo lugar,  en cada una de las transversales serán directamente proporcionales.

Desarrollo de las ecuaciones trigonométricas

Repasemos (para el que se olvidó o el que no lo conoce) en famosísimo teorema de Thales.

Dibujemos un segmento cualquiera y llamémosle ab. En base a este segmento dibujemos otro de manera que este nuevo segmento sea tres veces mayor que ab. O sea cf = 3 ab.

Repitamos la operación. 

Tracemos un nuevo segmento que sea de distinta longitud que ab (llamémosle gh). Nuevamente, en base a gh, dibujemos otro de manera que este segmento contenga tres veces a gh. O sea il = 3 gh

Queda claro que en ambos casos el cociente de la división entre el segmento mayor y el menor dará como resultado 3.

Los segmentos no son iguales entre sí, pero la división nos da una igualdad. Esta propiedad se denomina proporción; cada par de segmentos es proporcional entre si.

Los segmentos no son iguales entre sí, pero la división nos da una igualdad. Esta propiedad se denomina proporción; cada par de segmentos es proporcional entre si.

Desde Thales hasta las funciones trigonométricas

Cada par de lados homólogos (que se ubican en la misma posición) de un triángulo rectángulo cuyos ángulos sean iguales serán proporcionales. Por ejemplo, dibujemos a cada par de segmentos en forma perpendicular haciendo coincidir uno de sus vértices. Vemos en la figura que el punto b y c coinciden en la misma posición, así que, desechamos al segundo. Lo mismo hacemos con h e i. Tracemos el lado que falta (la hipotenusa) para completar cada triángulo. Si queremos averiguar el valor de los lados que hemos trazado, aplicamos Pitágoras. Ahora demostremos que estos lados también son proporcionales.

Los lados de los triángulos son proporcionales, las figuras son semejantes y los ángulos congruentes. Es muy importante destacar que el ángulo (comprendido par cada par de lados homólogos) en todos los casos es el mismo. Este hecho es de vital importancia ya que permite relacionar a los ángulos con la razón de la proporción de los lados. Esta relación presenta la propiedad de unicidad y la propiedad de completitud (para cada par de lados homólogos existe siempre un único valor (razón) relacionado con una determinada [existe y es única] amplitud angular), por lo tanto se establece una función, a las que llamaremos trigonométrica.