Viene de
Función cuadrática
La ecuación cuadrática o de
segundo grado representa gráficamente a una
parábola, cuyo
dominio serán
todos los
reales, pero la imagen está determinada por el vértice. En el
presente artículo nos concentraremos en las características de este tipo
de función como lo son: los
ceros de la función, el conjunto de positividad, negatividad, máximo,
mínimo, intervalos de crecimiento y decrecimiento. Hablaremos de las
funciones en general para, después, desarrollar ejemplos típicos al final.
Comencemos con una función
típica, cuya gráfica se parezca a una sonrisa y corte al eje de las x
en dos puntos, o sea que tenga dos ceros o raíces, a los que llamaremos
x1 y x2.
(x1 , 0 )
y (x2 , 0)
La imagen de x1
y de x2 es la misma, cero.
Tenemos pues el primer
conjunto de elementos importantes en la parábola, el
conjunto de ceros, Co, que al ser un conjunto finito se escribe entre llaves.
Co = {x1
, x2}
Una vez ubicados los ceros
podemos buscar los valores de x cuya imagen sea positiva,
estamos
hablando del
conjunto de positividad.
Ojo, no quiere decir que el
valor de x sea positivo, sino que su imagen lo sea. En la gráfica
que ven al lado, se ha pintado de rojo la parte que corresponde al
conjunto de positividad, en el eje x se observa una línea verde indicando
el intervalo del dominio de la parábola que representa a todos los valores de
x cuyas imágenes son positivas, o sea el conjunto de positividad,
que viene
desde
el infinito de los negativos hasta el x1 y retoma en x2
hasta el infinito de los positivo. Como son dos conjuntos se los une, (La "U"
que aparece entre ambos intervalos es el símbolo de unión entre
conjuntos)
Ahora fijémonos en el signo de las imágenes de los valores de x que
se encuentran entre x1
y x2, todas las imágenes tienen signo negativo. En el
gráfico que se encuentra a la izquierda vemos la parte correspondiente
de la parábola pintada de verde, que representa al conjunto de negatividad, que será el intervalo abierto que
tiene a x1 y a x2 como extremos.
¿Por qué abierto? x1 y a x2 son los
ceros y los ceros no tienen signo, así que no pueden pertenecer a
ninguno de los dos conjuntos, por lo tanto hay que escribirlos con
paréntesis.
La
parábola sonríe, quiere decir que el número que está multiplicando a la
x2, (que lleva el nombre de coeficiente principal y en
la expresión polinómica se lo designa con la letra
a) es
positivo. Posee concavidad positiva.
Esta característica deja al
vértice como mínimo absoluto. No habrá valor
dentro de la imagen más chico que la componente y del vértice. El
conjunto imagen, pues, irá desde la coordenada y del vértice (que
pertenece al conjunto, por lo tanto irá con un corchete) hasta el
infinito de los positivos. Imgf [vy,
+ ∞)
Ya lo habíamos indicado,
pero vale la pena repetirlo. Como no hay problemas
respecto al valor que podemos tomar en x para realizar los
cálculos, sabemos que el dominio de la función son todos los reales.
Domf : R
Cuando leemos el eje x,
siempre lo hacemos desde la izquierda hacia la derecha. Así que podemos
notar que la parábola "baja" a medida que se va acercando a
vx
desde la izquierda. Por el
dibujo podemos ver que
x1
es mayor que cero, pero la imagen de cero es positiva mientras que la
imagen de
x1 es cero, o sea, es menor, más chica.
Tenemos que x1
> 0 pero f(x1) < f(o)
La función decrece
desde el infinito de los negativos hasta la coordenada x
del vértice.
Estamos frente al intervalo de decrecimiento.
Intervalo de decrecimiento: (– ∞, vx)
Ahora, si observamos lo que ocurre a la parábola a la derecha de la
coordenada
x del vértice vemos que a medida que los valores de
x van creciendo, sus imágenes también.
Si comparamos x2
con vx, la primera es mayor que la segunda y su imagen
también es más grande.
Tenemos que x2
> vx y además f(x2) > f(vx)
Estamos frente al intervalo
de crecimiento que va desde vx hasta el infinito de
los
positivos.
Intervalo de crecimiento: (vx, + ∞ )
Resumiendo: en una parábola que corte al eje en dos puntos y posee
concavidad positiva tenemos:
Por supuesto que no es el único caso de este tipo de parábolas.
Podemos encontrarnos con una
parábola que corte una sola vez al eje
x. En este caso,
x1
será igual a
x2 y ambas serán iguales a la coordenada
x del vértice.
x1 =
x2
=
vx
En este caso nuestro conjunto de
positividad son todos los reales excepto el vértice que corta al eje x.
Pero nuestro conjunto de negatividad está vacío.
Los intervalos de crecimiento y decrecimiento se calculan de la misma manera
que en el caso anterior.
Otro
caso que nos podemos encontrar es que la parábola no toque directamente el
eje de las x. Esto ocurre cuando al resolver la raíz en la ecuación
cuadrática el resultado (dentro de la raíz) nos da negativo.
En este caso tanto los ceros como
el conjunto de negatividad están vacíos, no tienen elementos; mientras que
el dominio y el conjunto de positividad son iguales, ambos son los reales.
Los intervalos de crecimiento y
decrecimiento se calculan de la misma manera que los dos casos anteriores,
ya que al no variar la concavidad son los mismos.
En el caso de la concavidad
negativa la parábola parece llorar, pero la manera de buscar y analizar sus
características no varía. Los ceros de la función están dados por los puntos
en que la parábola corta al eje de las x. Tenemos, nuevamente, tres
posibilidades, que lo corte en dos, uno o ningún punto. Al estar invertida
la parábola nuestros conjuntos de positividad y negatividad están al revés
que antes, lo mismo ocurre con los intervalos de crecimiento y
decrecimiento. Es más la imagen está invertida respecto a los casos
anteriores. El vértice es el máximo absoluto y por lo tanto la imagen va del
infinito de los negativos hasta la coordenada y del vértice.
Ejemplos de
parábolas con concavidad positiva
Comencemos
con la función más simple, f(x)
= x2
Lo primero
que tenemos que determinar es nuestro dominio, no existe ninguna
restricción para elevar un número al cuadrado así que nuestro dominio
serán todos los reales. Pero además todo número elevado al cuadrado nos
dará como resultado un valor positivo, de allí que en nuestra imagen no
hallaremos ningún número negativo. Como el cero no tiene signo, para
indicar nuestra imagen podemos expresarla como un intervalo semicerrado
en cero o la unión entre cero y los reales positivos. Escribámoslo:
Domf : R
Imgf : [0, + ∞ )
Ceros de la función: Para poder hallarlos, simplemente
igualamos la ecuación a cero y despejamos.
x2 = 0, en este
caso hay un solo valor, x = 0
Así que nuestro conjunto de
ceros está compuesto por un solo elemento, el número cero: C o
= {0}
Conjunto de negatividad: está formado por los elementos del
dominio cuya imagen es negativa. Como ningún número elevado al cuadrado
da negativo, en este caso, el conjunto de negatividad no posee ningún
elemento, es vacío. Y lo escribimos: C
– = { } o C – = Ǿ.
Conjunto de positividad: está formado por los elementos del
dominio cuya imagen es positiva. Salvo el cero, todo el dominio es
positivo así que podemos escribirlo como: C + = R – {0}
Conjunto o intervalo de decrecimiento:
En este caso el vértice se ubica en el punto (0, 0) y al estar
multiplicado x2 por un
valor
positivo (uno) la parábola parece sonreír ya que siempre va para arriba.
Pero no olvidemos que siempre leemos el eje de las x de izquierda
a derecha,
así que tenemos una parte de la parábola que decrece.
Nótese que a
medida que los valores de x de hacen más grandes, sus imágenes se
hacen más chicas.
Veamos un ejemplo para entender lo que sucede: si
tomamos dos valores de x negativos el número será mayor cuanto
más cerca del cero se encuentre. Por ejemplo – 3 es menor que –
1. Calculemos las imágenes en cada caso:
f(– 3) = (– 3)2 = 9 y f(–
1) = (– 1)2
= 1.
Evidentemente 9 es más grande que 1, la parábola en los números
negativos va "hacia abajo" (es lo que indica la flecha del dibujo que se
encuentra debajo de este texto). Pero la parábola deja de "descender
cuando x es cero, no baja más. Ha llegado a un extremo, a su
valor mínimo.
Intervalo de decrecimiento: (– ∞, 0)
Conjunto o intervalo de crecimiento: A partir del cero, a
medida que los valores de x se hacen más grandes, sus imágenes
también se hacen más grandes. La imagen de 1 es más chica que la
imagen de 3, por lo que la parábola va hacia arriba, crece y no se
detiene... crece hasta el infinito (y más allá).
Intervalo de crecimiento: (0, + ∞ )
Ahora
analicemos una función un poco más complicada...
f(x) = x2
– 4
Nuevamente el dominio será
todos los reales y para calcular la imagen necesitamos el vértice. Como
tenemos la
expresión canónica:
f(x)= a (x + vx)2
+ vy podemos
hallarlo sin problemas.
Primeramente tomemos la ecuación que estamos
analizando y expresémosla como canónica: f(x) =
1 (x
+ 0)2 – 4. Vemos que el valor que está sumando a x es
cero, por lo tanto la coordenada x del vértice es 0 y la
correspondiente a la coordenada y del vértice es – 4. Así
que nuestro vértice es (0, – 4)
La coordenada y del vértice
nos indica cual es el extremo de nuestra imagen, como a es
positiva, la parábola "sonríe" y va hacia arriba. Nuestra imagen será.
pues desde menos cuatro hasta más infinito.
Domf
: R
Imgf : [–
4, + ∞ )
Para calcular los ceros de la
función igualamos a cero y despejamos.
El conjunto de ceros será pues Co
= {– 2, 2}
Ahora busquemos los conjuntos de
positividad. En este caso nos conviene recordar la regla de los signos, si
multiplicamos dos números positivos o dos números negativos el resultado
será positivo. Y si multiplicamos dos números de distinto signo nuestro
resultado será negativo. Para facilitar las próximas cuentas factoricemos
nuestro polinomio de segundo grado para expresarlo en forma factorial, así
que f(x) = x2 – 4 queda
factorizado f(x) = (x – 2) (x + 2)
Ahora
utilizaremos un teorema, llamado Teorema de Bolzano, que nos indica algo que
podemos ver a simple vista. Si tenemos que las imágenes de dos valores de
x tienen signos opuestos, debe haber un cero entre ellos. Como sabemos
donde están los ceros, sencillamente analizamos los signos, para lo cual
separamos en intervalos cuyos extremos son los ceros de la función. Podemos
hallar los signos sencillamente hallando la imagen de cualquier número que
pertenezca a ese intervalo. Es interesante destacar que sin importar el
número elegido, dentro del intervalo obtendremos siempre el mismo signo. De
esa manera podemos hallar el intervalo de positividad y negatividad de
manera sencilla. Como lo muestra el cuadro armado en el costado izquierdo.
Tomemos
un polinomio de tercer grado, y usando la
técnica de Gauss,
lo factorizamos. Así podremos analizar fácilmente al polinomio.
En el primer intervalo que va
desde
el infinito de los negativos hasta menos dos, podemos tomar cualquier número que pertenezca al intervalo, arbitrariamente elijo al menos tres y con él calculo el signo de la imagen para cada binomio ya que el valor del resultado no me interesa, sólo el signo. Fíjense que nos quedan tres signos negativos, por la regla de los signos, el producto
de los tres será negativo.
