Función lineal

Comencemos con un video que explica que la proporción directa tiene una gráfica lineal y se puede expresar como función. 

Además se diferencia el gráfico de la función lineal según el conjunto de partida y llegada de la función mostrando como difiere la gráfica en cada caso. 

veamos un pequeñisimo video donde se muestran las tres expresiones de la recta lineal:

Ahora analicemos la expresión implícita cuya ecuación es: f_(x) = m x + b, donde "b" es un número real al que se lo llama ordenada al origen y "m" (que ya lo conocemos) se denomina pendiente.

Grafiquemos en un par de ejes cartesianos una función lineal

Elegimos dos puntos cualquiera, en este caso (1, 4) y (7, 6). Marcándolos en el gráfico, trazamos una línea punteada desde cada punto hasta sus coordenadas x e y. Así quedará determinado un triángulo rectángulo. Al punto más alejado del centro lo llamaremos (x₁; y₁); al otro lo llamaremos (x_o; y_o). Completemos según las coordenadas que elegidas:

x_o = 1,      y_o = 4,       x₁ = 7,      y₁ = 6

Marquemos el ángulo que forma la recta con el eje x.

Tomando al ángulo de guía (α) sobre la gráfica velos que el cateto adyacente mide 6 y que es el opuesto mide 2.

¿Qué operación matemática realizamos para calcularlos? 

Hemos restado. 

La resta (diferencia) se representa por el símbolo D; de allí que al restar x obtuvimos Δx (se lee diferencial x). Al restar Y obtendremos Δy ( diferencial y ). De esta manera, el cateto adyacente y el cateto opuesto están representados por Δx y por Δy respectivamente.

¿Qué función trigonométrica relaciona Δx y Δy con el ángulo del triángulo?

La tangente.

En este caso ¿Qué valor tiene ?

Es importante notar que entre dos puntos cuales quiera que pertenezcan a la recta, puede trazarse un triángulo rectángulo, de manera que, la razón de sus catetos sea ¹/₃, el valor de la pendiente.

Para poder calcular la ecuación de esta recta sólo nos falta saber el valor de la ordenada al origen "b" .

La ecuación de la recta es: y = m x + b

Elijamos uno de los puntos de la recta, (1, 4) y suplantemos " x e y " con ellos en la ecuación: 4 = m. 1 + b

Hagamos lo mismo con el valor de "m" (la pendiente):

Despejemos b para hallar su valor:

De esa manera la ecuación de la recta que pasa por (1, 4) y (7, 6) es:

 

Volviendo al triángulo que quedó formado en el gráfico:

Aún queda, sin saber su medida, la hipotenusa del triángulo; ese lado coincide con la distancia entre los dos puntos marcados. El teorema de Pitágoras nos permite conocer esa medida.

Distancia entre dos puntos:  D² = Δx² + Δy² 

Graficar una recta (sin tabla)

Para graficar una recta se deben tener en cuenta la pendiente de la misma y la ordenada al origen.

Grafiquemos la recta:   y = 3 x + 1

La ordenada al origen es (0, 1), el o primero que ubicamos en el gráfico. A partir de ese punto aplicamos el concepto de pendiente, subimos tres (por que el valor es positivo, sentido positivo del eje y; de ser negativo bajaríamos) y corremos uno hacia la derecha (sentido positivo del eje de las x). Por esos dos puntos trazamos la recta.

Ejercitación

1) Determinar la ecuación de la recta que posee pendiente m = 2 y pasa por el punto (5; –1)

Rta.: y = 2x – 11

2) Escribir las ecuaciones de las rectas determinadas por cada uno de los siguientes pares de puntos (0 ; 7) y (– 2 ; 1)

Rta.: y = 3x + 7

3) Escribir las ecuaciones de las rectas que contienen a cada uno de los lados del triángulo cuyos vértices son: ( 2 ; 1); (0 ; 2) y (– 3 ; – 4)

Rta.: y = – 2x + 2;  y = – x + 2;  y = x – 1

4) Escribir la ecuación de la recta paralela y perpendicular a  y = – ½ x + 1 que pase por el punto P = ( 4 ; 0)

Rta.:   y = – ½ x + 2;    y = 2x – 8

5) Determinar la distancia entre los puntos (1;2) y (4;6)

Rta.: 5

6) Calcular el perímetro de las siguientes figuras.

Rta.: 62,44 ; 49,88.