Par ordenado

Veamos primero el video acerca de las relaciones donde se explica como se relacionan entre sí los conjuntos, introduciendo el concepto de par ordenado, producto cartesiano y relaciones (sin entrar en las propiedades):

Ahora juguemos a la batalla naval para entender el concepto de par ordenado.

Dejemos por escrito lo que hemos visto:

Ubiquemos cada posición del barco poniendo adelante la letra y detrás el número.

Barco de un casillero : (D; 2)
Barco de dos casilleros: (E; 4) (E; 5)
Barco de tres casilleros: (A; 6) (B; 6) (C; 6)
Barco de cinco casilleros: (G; 1) (G; 2) (G; 3) (G; 4) (G; 5)

Suplantemos las letras por números
¿Cómo quedarían las coordenadas de las barcos ?

Barco de un casillero : (4; 2)
Barco de dos casilleros: (5; 4) (5; 5)
Barco de tres casilleros: (1; 6) (1; 6) (1; 6)
Barco de cinco casilleros: (7; 1) (7; 2) (7; 3) (7; 4) (7; 5)


Coloquemos los puntos en un par de ejes cartesianos  (como estaban en el juego)
Coloquemos los puntos en un par de ejes cartesianos  (como estaban en el juego)

Fíjate que la primera componente del punto siempre es x y la segunda componente siempre será y; a partir de esta característica se lo denomina "par  ordenado”.

Sobre las abscisas siempre va el conjunto llamado "de partida" cuyo elementos se suelen llamar preimagenes. Sobre las ordenadas va el conjunto denominado "de llegada" cuyos elementos reciben el nombre de imágenes.

Definamos, por extensión, ambos conjuntos, (fíjate el gráfico).

x = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

y = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Observemos detenidamente la gráfica, con todos los elementos del primer conjunto (el de partida) que tengan por lo menos una imagen podemos formar otro conjunto, llamemos dominio a ese conjunto.

Dominio: { 2, 3, 4, 5, 7}

“1” y “6” no tienen imagen, por lo tanto no forma parte del dominio.

Todas los elementos del segundo conjunto formarán al conjunto imagen.

Imagen:{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

En este caso no ha quedado ningún elemento del conjunto de llegada sin ser imagen de cada elemento del dominio.

En algunos libros, al conjunto de llegada se lo suele llamar codominio,  y en otros textos el “codominio” es sinónimo de conjunto imagen, depende del criterio del autor.

Como podemos relacionar los elementos del primer y segundo conjunto a través de una relación establecida entre ambos, veamos un ejemplo conservando los conjuntos de partida y llegada del ejercicio anterior.

“y es menor que x”" o escrito en símbolos  “y < x”.

De acuerdo al valor que se tome para "x" tendremos el valor en "y", siempre más chico. De allí que el par (2;1) si pertenece a la relación pero el par (1;2) no.

Escribamos todos los pares que satisfagan la relación " y < x ".

R = {(2, 1); (3, 1); (4, 1); (5, 1); (6, 1); (3, 2); (4, 2); (5, 2); (6, 2); (7, 2); (4, 3); (5, 3); (6, 3); (7, 3); (5, 4); (6, 4); (7, 4); (6, 5); (7, 5); (7, 6)}

Si representamos los pares en un par de ejes cartesianos, veremos claramente que “1” no pertenece al dominio y “7 ” no es imagen de ningún número.

Dominio: {2, 3, 4, 5, 6, 7}

Imagen:   {1, 2, 3, 4, 5, 6}