Variables
Suele ser de gran utilidad
representar al número con una letra, así "n" es un número
cualquiera, sólo necesitamos indicar a que conjunto pertenece.
Ejemplo: n ϵ Z ( n pertenece al conjunto de los
números enteros, o sea "es" un número entero)
Reemplazar al "número" por una
letra nos ayuda a generalizar propiedades. Para que una propiedad sea
verdadera debe darse en todos los casos, absolutamente en todos, sin
ninguna excepción.
Veamos un ejemplo: "el
siguiente de un número entero".
El siguiente de 2 es 3, el siguiente de 7 es 8, el siguiente de 12 es 13
...
¿Qué se hace para encontrar al siguiente de un número? Sencillamente se
le "suma 1"
Así que podemos designar al siguiente de un número entero, al
consecutivo de n como: "n + 1".
De la misma manera "n
– 1" representa al número anterior de un entero.
Ahora piensa cuidadosamente tu
respuesta.
Entre un entero y su
consecutivo, ¿Cuántos enteros hay?
El conjunto de los números
enteros es infinito pero entre dos números enteros consecutivos no
existe ningún número (entero).
Sigamos pensando.
Tomemos dos números enteros
consecutivos, Por ejemplo 4 y 5, y busquemos un número real entre ellos.
4 ...... 5 (podemos tomar 4,5
que está entre 4 y 5)
4 .... 4,5 ..... 5
Ahora busquemos un número
intermedio entre 4 y 4,5
4 ...... 4,5 (podemos tomar
4,3 que está entre 4 y 4,5)
4 ...... 4,3 ..... 4,5
Ahora busquemos un número
intermedio entre 4 y 4,3
4 ........4,3 (podemos tomar
4,1 que está entre 4 y 4,3)
4 ........ 4,1 ....... 4,3
Ahora busquemos un número
intermedio entre 4 y 4,1
4 ......... 4,1 (podemos tomar
4,08 que está entre 4 y 4,1)
4 ......... 4,08 ....... 4,1
Podemos seguir así
eternamente.
Siempre podremos poner otro
número por que entre dos números reales hay infinitos números.
Razonemos...
¿Cuántos números hay en el
conjunto de los enteros?, infinitos.
¿Cuántos números hay en el conjunto
de los reales?, infinitos.
Pero el conjunto de los números enteros (Z)
está incluido en el conjunto de los números reales, entonces (R)
¡¡¡¡¿Existirán infinitos más
grandes que otros ?!!!!
Entonces cabe preguntarnos,
¿Qué quiere decir infinito?
Como ya se dijo, "infinito"
no es un número, es una tendencia, indica que sigue creciendo o que
sigue achicándose eternamente, sin fin.
Tenemos dos nociones
para infinito.
a) El que crece indefinidamente, por ejemplo, contar las estrellas que
hay en el cielo.
b) El que disminuye por siempre; podríamos ejemplificarlo con un extraño
sueño en el cual quieres tocar una pared, te acercas, te das cuenta de
que estás más cerca, pero nunca llegas, se lo denomina infinitésimo.
El conjunto de los números
enteros es infinito
El conjunto de los números
reales es infinito en ambas direcciones, positivos y negativos, además
también crece infinitésimamente (por que entre dos números reales hay
infinitos números también), por eso se lo denomina conjunto denso.
Otro conjunto denso es la
recta, ya que entre dos puntos cualesquiera existen infinitos puntos y
crece indefinidamente en ambos sentidos (depende de la dirección que la
pongamos). Por lo tanto, la recta y los números reales son equivalentes.
"Podemos representar a los números
reales sobre una recta"
_______________________________________________________________
Representación de Números Reales en la recta Numérica
Ya vimos que uno de los
conceptos fundamentales de la matemática es el número, junto al concepto
de conjunto nos permitirá desarrollar el tema de esta unidad.
Todos los números, positivos y
negativos, se llaman racionales si pueden representarse como fracciones
(divisiones cuyo resultado es un decimal periódico). Los decimales no
periódicos se denominan números irracionales y todos ellos (racionales e
irracionales) forman el conjunto de los números reales. Éstos se
ordenan, según su magnitud, de menor a mayor.
Tomemos dos números reales
cualesquiera a y b, démosle un valor:
a = ......
b =
......
En realidad al asignarle un
valor a cada uno tenemos sólo tres opciones que a sea mayor que
b, que sea menor o que sea igual.
a > b a = b a < b
Dados dos números sólo pueden
ser iguales o desiguales (mayor o menor). Una alternativa a la vez.
Ya hemos aclarado que los
números reales y los puntos de la recta son equivalentes, lo que implica
que podemos representar a los números sobres la recta a la que
llamaremos eje numérico. Para ello pongamos en claro tres condiciones:
1) Siempre ubiquemos un punto
al que llamaremos "origen" asignándole el valor cero..
2) No tenemos que olvidarnos
de indicar el sentido positivo con una flecha (el opuesto, se
sobreentiende que será negativo ).
3) Pongamos siempre una medida
de longitud, una escala, para separar dos enteros consecutivos.
Con estos tres
condicionamientos estamos listos para trabajar.
Separemos la recta en unidades
de igual longitud cada una, coloquemos cuatro números enteros
consecutivos de cada lado (positivos y negativos)
Magnitudes.
Estuvimos hablando de los
números pero no dijimos para que sirven.
Los números son entes
abstractos que por sí solos no representan nada. Esa es su mayor virtud,
pues podemos asignarle el significado que queramos. Un simple tres ,
según la ocasión, puede ser una cantidad de dinero, una mala nota, lo
que sea ...
Todo lo que podemos medir
puede ser representado por un número. Todo lo medible se llamará,
entonces, magnitud.
Si bien las magnitudes pueden
dividirse en dos subgrupos: magnitudes vectoriales y escalares, por
ahora nos ocuparemos de las últimas, las que pueden subdividirse en
magnitudes constantes o absolutas (cuyo valor numérico no
varía, como el número p) y las magnitudes
variables (que pueden tomar diversos valores, representadas generalmente
por las letras "x" e "y").
Según el problema que se
considere , el conjunto de estos valores puede ser diferente. Por
ejemplo, la temperatura del agua líquida varía desde 0 ºC hasta 100 ºC
(aunque no podemos tomar los valores extremos dentro de ese conjunto);
mientras que el alcohol común se mantiene líquido entre los 0º C y los
80 ºC aproximadamente (excluyendo los extremos del conjunto).
Estos conjuntos, subconjuntos
del conjunto de los números reales, se denominan intervalos. Los
intervalos pueden ser abiertos, si sus extremos no pertenecen al
conjunto ( como las temperaturas antes descriptas), o intervalos
cerrados , cuando sí pertenecen.
Tomemos un intervalo
cualquiera, el que se encuentra entre los números 3 y 5, por ejemplo.
Escribiremos como [3,5] al intervalo cerrado, (siempre
comenzando desde el más pequeño) y como (3,5) al intervalo
abierto. Por supuesto que tenemos los intervalos donde un extremo
pertenece al intervalo y el otro no, lo llamaremos intervalo semiabierto
ó intervalo semicerrado. ¿Cómo te parece que se escribirá
este tipo de intervalo ? (los dos casos posibles)
Los intervalos pueden
representarse sobre la recta numérica. Pongamos un ejemplo: (– 4 , 3 ]
_____(
– 4 ///////////////////////// 0 ///////////////// 3]____
Como ya se dijo, suele ser de
gran utilidad representar al número con una letra, así "x",
magnitud variable, nos permite generalizar la noción de número y
expresar al intervalo de otra manera. Así, (3,5) puede escribirse como:
3 < x < 5, donde x puede tomar cualquier valor entre 3 y
5.
[3 , 5] podemos anotarlos
como: 3 < x < 5
Volvamos con las operaciones .
. .
Raíz Cuadrada
Ya hablamos de la suma, la
resta, la multiplicación y la división. Luego le tocó el turno a la
potencia y ahora es tiempo de desarrollar a su alterego, la radicación.
Aunque no sea necesario, (en
mi extrema inocencia presupongo que ya lo sabes) definámosla.
Sea a , b y c
números reales , entonces:
De ella, en estos momentos,
sólo nos detendremos en la raíz cuadrada.
La raíz cuadrada es la inversa
de la potencia al cuadrado. No es nada nuevo. Tampoco lo es el hecho que
todo número elevado al cuadrado da como resultado un valor positivo.
Si elevamos al cuadrado una
raíz cuadrada ¿Qué sucede? En realidad, la respuesta no es tan
sencilla. No es lo mismo elevar un número negativo al cuadrado y luego
sacarle la raíz que a la inversa.
Si tenemos
nos encontramos con un gran problema.
¿Por qué no podemos resolver
la raíz y luego elevar al cuadrado el resultado? Sencillamente por que
la raíz de un numero negativo no tiene respuesta en el conjunto de los
números reales. Tanto (- a)2 como a 2
tienen resultado positivo (todo número elevado a una potencia par da
como resultado un número positivo).
Así que
no tiene solución (repito, sólo en el conjunto de los reales).
Para facilitar la maniobra
transformemos la raíz en potencia, y
resolvamos la operación
al simplificar las potencias nos queda:
Si tenemos
la potencia dentro de la raíz
la solución es completamente diferente.
El módulo resuelve el problema
del resultado de la raíz cuadrada, que puede ser tanto positivo como negativo. El
valor del módulo siempre es mayor que cero, o sea, siempre es positivo.
El resultado de la raíz puede
ser negativo: |– 3| = 3 (al
aplicarle el módulo el resultado es positivo).
No existe un módulo que sea
negativo, el resultado siempre es positivo.
Ejemplo:
|3| = – 3 no existe.
El módulo tiene resultado
positivo.
Dentro del módulo el número
puede ser positivo o negativo
Ejemplo:
|– 5| =
| 5| = 5
Si tenemos ecuaciones con
módulo debemos tener en cuenta que la x puede tener ambos signos
dentro del módulo pero el resultado será siempre positivo:
|x| > 0,
|– x| > 0
Ahora si sacamos el módulo,
debemos calcular el valor de x teniendo en cuenta ambos signos:
| x| = 3 , al sacar el módulo
tenemos x = 3 ó – x = 3 Þ x
= – 3 .
Aquí hemos planteado una ecuación con una incógnita. La igualdad sólo
nos permite que el resultado sean dos números. Si relacionamos al módulo
con una inecuación el resultado será un intervalo.
Observemos el siguiente ejemplo: |x| < 3, al sacar el módulo
tenemos
x < 3 o – x < 3
no nos conviene la "x"
negativa, así que intercambiemos los – 3 < x
(observa que si la
dejamos del mismo lado debe invertirse el sentido del símbolo quedando: – 3 < x.
así que
x > – 3.)
Representemos x < 3 y x > – 3 en una recta numérica.
____(–3 /////////////////
0 /////////////////
3)________
Vemos que la solución de |x| < 3 es (– 3; 3)
Intervalo de una cuadrática
Despejamos para resolver la raíz:
El resultado será: (–
∞, – 3)
U (3,
+ ∞)
No hay comentarios.:
Publicar un comentario