jueves, 15 de octubre de 2015

Magnitudes


   Variables

Suele ser de gran utilidad representar al número con una letra, así "n" es un número cualquiera, sólo necesitamos indicar a que conjunto pertenece.

Ejemplo: n ϵ Z ( n pertenece al conjunto de los números enteros, o sea "es" un número entero)

Reemplazar al "número" por una letra nos ayuda a generalizar propiedades. Para que una propiedad sea verdadera debe darse en todos los casos, absolutamente en todos, sin ninguna excepción.

Veamos un ejemplo: "el siguiente de un número entero".
El siguiente de 2 es 3, el siguiente de 7 es 8, el siguiente de 12 es 13 ...

¿Qué se hace para encontrar al siguiente de un número? Sencillamente se le "suma 1"

Así que podemos designar al siguiente de un número entero, al consecutivo de n como:  "n + 1".

De la misma manera "n – 1" representa al número anterior de un entero.

Ahora piensa cuidadosamente tu respuesta.

Entre un entero y su consecutivo, ¿Cuántos enteros hay?
El conjunto de los números enteros es infinito pero entre dos números enteros consecutivos no existe ningún número (entero).
Sigamos pensando.
Tomemos dos números enteros consecutivos, Por ejemplo 4 y 5, y busquemos un número real entre ellos.
4 ...... 5 (podemos tomar 4,5 que está entre 4 y 5)
4 .... 4,5 ..... 5
Ahora busquemos un número intermedio entre 4 y 4,5
4 ...... 4,5 (podemos tomar 4,3 que está entre 4 y 4,5)
4 ...... 4,3 ..... 4,5
Ahora busquemos un número intermedio entre 4 y 4,3
4 ........4,3 (podemos tomar 4,1 que está entre 4 y 4,3)
4 ........ 4,1 ....... 4,3
Ahora busquemos un número intermedio entre 4 y 4,1
4 ......... 4,1 (podemos tomar 4,08 que está entre 4 y 4,1)
4 ......... 4,08 ....... 4,1
Podemos seguir así eternamente.

Siempre podremos poner otro número por que entre dos números reales hay infinitos números.

Razonemos...

¿Cuántos números hay en el conjunto de los enteros?, infinitos. 
¿Cuántos números hay en el conjunto de los reales?, infinitos. 
Pero el conjunto de los números enteros (Z) está incluido en el conjunto de los números reales, entonces (R)

¡¡¡¡¿Existirán infinitos más grandes que otros ?!!!!

Entonces cabe preguntarnos, ¿Qué quiere decir infinito?
Como ya se dijo, "infinito" no es un número, es una tendencia, indica que sigue creciendo o que sigue achicándose eternamente, sin fin.
Tenemos dos nociones para infinito.

a) El que crece indefinidamente, por ejemplo, contar las estrellas que hay en el cielo.

b) El que disminuye por siempre; podríamos ejemplificarlo con un extraño sueño en el cual quieres tocar una pared, te acercas, te das cuenta de que estás más cerca, pero nunca llegas, se lo denomina infinitésimo.

El conjunto de los números enteros es infinito

El conjunto de los números reales es infinito en ambas direcciones, positivos y negativos, además también crece infinitésimamente (por que entre dos números reales hay infinitos números también), por eso se lo denomina conjunto denso.

Otro conjunto denso es la recta, ya que entre dos puntos cualesquiera existen infinitos puntos y crece indefinidamente en ambos sentidos (depende de la dirección que la pongamos). Por lo tanto, la recta y los números reales son equivalentes.

"Podemos representar a los números reales sobre una recta"
_______________________________________________________________

Representación de Números Reales en la recta Numérica


Ya vimos que uno de los conceptos fundamentales de la matemática es el número, junto al concepto de conjunto nos permitirá desarrollar el tema de esta unidad.
Todos los números, positivos y negativos, se llaman racionales si pueden representarse como fracciones (divisiones cuyo resultado es un decimal periódico). Los decimales no periódicos se denominan números irracionales y todos ellos (racionales e irracionales) forman el conjunto de los números reales. Éstos se ordenan, según su magnitud, de menor a mayor.
Tomemos dos números reales cualesquiera a y b, démosle un valor:
a = ......
b = ......

En realidad al asignarle un valor a cada uno tenemos sólo tres opciones que a sea mayor que b, que sea menor o que sea igual.

a > b          a = b         a < b

Dados dos números sólo pueden ser iguales o desiguales (mayor o menor). Una alternativa a la vez.

Ya hemos aclarado que los números reales y los puntos de la recta son equivalentes, lo que implica que podemos representar a los números sobres la recta a la que llamaremos eje numérico. Para ello pongamos en claro tres condiciones:

1) Siempre ubiquemos un punto al que llamaremos "origen" asignándole el valor cero..

2) No tenemos que olvidarnos de indicar el sentido positivo con una flecha (el opuesto, se sobreentiende que será negativo ).

3) Pongamos siempre una medida de longitud, una escala, para separar dos enteros consecutivos.

Con estos tres condicionamientos estamos listos para trabajar.

Separemos la recta en unidades de igual longitud cada una, coloquemos cuatro números enteros consecutivos de cada lado (positivos y negativos)



Magnitudes.


Estuvimos hablando de los números pero no dijimos para que sirven.
Los números son entes abstractos que por sí solos no representan nada. Esa es su mayor virtud, pues podemos asignarle el significado que queramos. Un simple tres , según la ocasión, puede ser una cantidad de dinero, una mala nota, lo que sea ...
Todo lo que podemos medir puede ser representado por un número. Todo lo medible se llamará, entonces, magnitud. 
Si bien las magnitudes pueden dividirse en dos subgrupos: magnitudes vectoriales y escalares, por ahora nos ocuparemos de las últimas, las que pueden subdividirse en magnitudes constantes o absolutas (cuyo valor numérico no varía, como el número p) y las magnitudes variables (que pueden tomar diversos valores, representadas generalmente por las letras "x" e "y").


Según el problema que se considere , el conjunto de estos valores puede ser diferente. Por ejemplo, la temperatura del agua líquida varía desde 0 ºC hasta 100 ºC (aunque no podemos tomar los valores extremos dentro de ese conjunto); mientras que el alcohol común se mantiene líquido entre los 0º C y los 80 ºC aproximadamente (excluyendo los extremos del conjunto).
Estos conjuntos, subconjuntos del conjunto de los números reales, se denominan intervalos. Los intervalos pueden ser abiertos, si sus extremos no pertenecen al conjunto ( como las temperaturas antes descriptas), o intervalos cerrados , cuando sí pertenecen.
Tomemos un intervalo cualquiera, el que se encuentra entre los números 3 y 5, por ejemplo. Escribiremos como [3,5] al intervalo cerrado, (siempre comenzando desde el más pequeño) y como (3,5) al intervalo abierto. Por supuesto que tenemos los intervalos donde un extremo pertenece al intervalo y el otro no, lo llamaremos intervalo semiabierto ó intervalo semicerrado. ¿Cómo te parece que se escribirá este tipo de intervalo ? (los dos casos posibles)
Los intervalos pueden representarse sobre la recta numérica. Pongamos un ejemplo: (– 4 , 3 ]

_____( – 4 ///////////////////////// 0 ///////////////// 3]____


Como ya se dijo, suele ser de gran utilidad representar al número con una letra, así "x", magnitud variable, nos permite generalizar la noción de número y expresar al intervalo de otra manera. Así, (3,5) puede escribirse como: 3 < x < 5, donde x puede tomar cualquier valor entre 3 y 5.

[3 , 5] podemos anotarlos como: 3 < x < 5


Volvamos con las operaciones . . .

Raíz Cuadrada

Ya hablamos de la suma, la resta, la multiplicación y la división. Luego le tocó el turno a la potencia y ahora es tiempo de desarrollar a su alterego, la radicación.
Aunque no sea necesario, (en mi extrema inocencia presupongo que ya lo sabes) definámosla.
Sea a , b y c números reales , entonces:



De ella, en estos momentos, sólo nos detendremos en la raíz cuadrada.
La raíz cuadrada es la inversa de la potencia al cuadrado. No es nada nuevo. Tampoco lo es el hecho que todo número elevado al cuadrado da como resultado un valor positivo.
Si elevamos al cuadrado una raíz cuadrada ¿Qué sucede? En realidad, la respuesta no es tan sencilla. No es lo mismo elevar un número negativo al cuadrado y luego sacarle la raíz que a la inversa.

Si tenemos

nos encontramos con un gran problema.

¿Por qué no podemos resolver la raíz y luego elevar al cuadrado el resultado? Sencillamente por que la raíz de un numero negativo no tiene respuesta en el conjunto de los números reales. Tanto (- a)2 como a 2 tienen resultado positivo (todo número elevado a una potencia par da como resultado un número positivo).

Así que

no tiene solución (repito, sólo en el conjunto de los reales).

Para facilitar la maniobra transformemos la raíz en potencia, y resolvamos la operación al simplificar las potencias nos queda:


Si tenemos la potencia dentro de la raíz la solución es completamente diferente.


El módulo resuelve el problema del resultado de la raíz cuadrada, que puede ser tanto positivo como negativo. El valor del módulo siempre es mayor que cero, o sea, siempre es positivo.


El resultado de la raíz puede ser negativo: |– 3| = 3 (al aplicarle el módulo el resultado es positivo).

No existe un módulo que sea negativo, el resultado siempre es positivo.

Ejemplo: |3| = – 3 no existe.
El módulo tiene resultado positivo.

Dentro del módulo el número puede ser positivo o negativo

Ejemplo: |– 5| = | 5| = 5

Si tenemos ecuaciones con módulo debemos tener en cuenta que la x puede tener ambos signos dentro del módulo pero el resultado será siempre positivo:

|x| > 0,           |– x| > 0

Ahora si sacamos el módulo, debemos calcular el valor de x teniendo en cuenta ambos signos: | x| = 3 , al sacar el módulo tenemos x = 3 ó – x = 3 Þ x = – 3 .

Aquí hemos planteado una ecuación con una incógnita. La igualdad sólo nos permite que el resultado sean dos números. Si relacionamos al módulo con una inecuación el resultado será un intervalo.

Observemos el siguiente ejemplo: |x| < 3, al sacar el módulo tenemos

x < 3  o   – x < 3

no nos conviene la "x" negativa, así que intercambiemos los – 3 < x

(observa que si la dejamos del mismo lado debe invertirse el sentido del símbolo quedando: – 3 < x. así que x > – 3.)

Representemos x < 3  y  x > – 3 en una recta numérica.

____(–3 ///////////////// 0 ///////////////// 3)________

Vemos que la solución de |x| < 3 es (– 3; 3)

Intervalo de una cuadrática


Despejamos para resolver la raíz:


El resultado será: (– ∞, – 3) U (3, + ∞)




No hay comentarios.:

Publicar un comentario