Función

Al ver relaciones, vimos como los elementos del conjunto de partida podían relacionarse de distinta manera con los elementos del conjunto de llegada.

La función es, justamente, una relación especial donde a cada elemento del dominio puede se relaciona con una y solo un elemento de la imagen.

Como la relación se denomina función, se utiliza el símbolo f _(x) (f de x) para designarla (reemplazando en la ecuación a la y que veníamos usando).

Las funciones entre conjuntos de números son igualdades establecidas entre "x" (que determina el elemento del dominio) e "y" (que determina el elemento de la imagen), en las cuales se establecen pares ordenados en las que a cada elemento del dominio le corresponde uno y sólo uno del codominio o imagen.

Hablando en criollo, por cada valor de x que pongamos obtendremos un único valor de y o f _(x).

Por ejemplo y = x, (función identidad) donde "y" toma los mismos valores que tiene "x". También puede escribirse f _(x) = x (que quiere decir exactamente lo mismo). En funciones escribir "y" ó "f _(x)" es lo mismo.

Otra aclaración: desde ahora trabajaremos con los números reales como conjunto de partida y de llegada.

Uno de los graves errores de nuestra educación al enseñar matemática es separar la aritmética de la geometría, como si fueran dos cosas totalmente distintas. Este error es, además, ofensivo para todas aquellas personas que durante cientos de años trataron (y con éxito) de reunir ambas disciplinas bajo un mismo techo, dándoles forma  y orden.

La geometría trabaja con conceptos primitivos, punto, recta, plano y espacio. El punto puede equipararse con un número real y la recta con el conjunto de los números reales. Toda relación geométrica puede expresarse mediante la misma simbología que utilizamos para indicar las relaciones entre los números. Algunas operaciones aritméticas deben su nombre a la geometría. Veamos un ejemplo.

Dibujemos un rectángulo cuyo vértice coincida con el centro de coordenadas de un eje cartesiano. La base, que estará sobre el eje x, lo llamaremos "x", mientras que la altura podemos llamarla "m", la que en este caso tiene un valor arbitrario 4.

"m" es una magnitud constante, por lo tanto, una vez que le has dado su valor, siempre tendrá el mismo. En cuanto a "x", puede tener cualquier longitud.

Entonces, los valores de la superficie cambian a medida que cambia el valor de "x". El valor de la superficie está dada en función de x.

f _(x) = 4 . x

A medida que le damos un valor a x obtenemos los distintos pares ordenados que pertenecen a la función. Estos pares ordenados, al ser colocados en un eje cartesiano nos permitirán obtener la gráfica asociada a la función.

De aquí en adelante estudiaremos las funciones en base al área que determina la gráfica de la función y los ejes.

Vimos que en una relación cualquiera una elemento del dominio (x) podía tener más de una imagen (y). La función es una relación donde cada  elemento del dominio puede tener una y sólo una imagen (unicidad) además de tener a  todos los elementos del conjunto de partida dentro del dominio (completitud).

Las funciones son igualdades establecidas entre "x" e "y", por ejemplo y = x, (función identidad) donde "y" toma los mismos valores que tiene "x". También puede escribirse  f_(x) = x , que quiere decir exactamente lo mismo.        

“En funciones escribir "y" ó "f_(x)" es lo mismo.”

Otra aclaración, desde ahora trabajaremos con los números reales como conjunto de partida y de llegada.

Ahora debemos clarificarlas:

•  Inyectiva: es aquella donde cada elemento del dominio tiene diferente imagen
• Sobreyectiva: es aquella donde cada  elemento del conjunto de llegada es imagen de algún elemento del dominio. Es decir conjunto de llegada e imagen son iguales)
• Biyectiva: es aquella función donde se cumplen ambas propiedades inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo.

         La función biyectiva admite inversa.

La función inversa es aquella donde el dominio y el conjunto imagen intercambian posiciones, se invierten. El dominio será el conjunto imagen y viceversa. Para hallar la inversa de una función cambiamos x por y, (y viceversa), despejamos y. Diferenciamos una función de su inversa pues en esta última colocamos (a modo de potencia) sobre y ó f_(x) un –1.

Ejemplo: Sea f_(x) = 5.x + 2, para hallar la inversa cambiamos x por f_(x) , y viceversa:

x = 5 f_(x)^-1 + 2 , despejamos  f_(x)^-1

Y obtenemos la función inversa.

Función Potencial: En este tipo de función las x están elevadas a una potencia representada por un número real "a". Según los valores que tenga "a" obtendremos gráficas tan dispares como la ecuación lineal (a = 1) o la cuadrática (a = 2); m representa a un número real cualquiera.

Función Exponencial: aquí x trabaja como exponente (se analiza este tipo de función en logaritmos)

Función Logarítmica: la inversa de la función exponencial (se analiza este tipo de función en logaritmos)

Función Trigonométrica: Aquí x trabaja como argumento (ángulo) de las funciones seno, coseno, tangente, etc. (se analiza este tipo de función en Trigonometría).