Operaciones básicas en Z

Posiblemente uno de los mayores problemas que enfrente un alumno sea recordar la cantidad de "reglas" a utilizar para resolver los ejercicios. Así que mi primera recomendación es armar un ayuda memoria, un papel que tendrás siempre a mano, con las reglas básicas que aquí expondremos hasta que el continuo uso de estas reglas en sucesivos ejercicios haga innecesario el empleo de este machete permitido (aquí, no en el aula...)

Sumar o restar, una cuestión de dinero.

Es interesante el hecho que el signo + y el signo – pueden interpretarse mejor si imaginamos que manejamos dinero. Un número positivo puede representar el dinero que tenemos en la mano listo para gastar. Por ejemplo: 10. Como no hay signo delante sabemos que es positivo. Podemos imaginar al billete de 10 apretujado entre nuestros dedos...

Cualquier número negativo representaría, entonces, algo que debemos pagar. Por ejemplo: – 4. He comprado algo de 4 pesos, debo pagarlo, debo 4.

Por lo tanto podemos imaginar las operaciones de manera que ganemos o perdamos dinero.

10 + 2 = 12      Tengo 10 y tengo 2, así que tengo 12.

10 – 2 = 8         Tengo 10, y pago 2, por lo tanto aún me quedan 8.

¿Qué sucedería si fuera al revés?

– 10 + 2 =     

Debo 10 y tengo 2. Lo que significa que aún me faltan ocho... los debo, el resultado es negativo.

– 10 + 2 = – 8

12 – 7 = 5        Tengo 12 y pago 7, en la mano me quedan 5

– 12 + 7 =        Debo 12 y tengo 7, me falta dinero, me faltan 5

– 12 + 7 = – 5

Es interesante notar que al tener dos números de signos distintos, la operación que realizamos es la resta. 

Observa atentamente el signo del resultado y compáralo con el signo del valor mayor. ¿Puedes sacar alguna conclusión? (Recomendación: invéntate varias cuentas, resuélvelas y desarrolla tu propia "teoría" sobre lo que ocurre.

Veamos lo que sucede cuando los dos signos son negativos.

– 2 – 5 =         (Debo 2 y debo 5, así que estoy debiendo 7 en total)  
 – 2 – 5 = – 7

– 5 – 7 =        (Debo 5 y debo 7, así que estoy debiendo 12)           
 – 5 – 7 = – 12

– 10 – 22 =    (Debo 10 y  debo 22, lo que implica que debo 32)      
– 10 – 22 = – 32

¿Te has dado cuenta que en cada uno de los casos estamos sumando?

Podemos inventar otra regla en este caso: si tenemos números con signos iguales los sumamos...

¿Que sucede si sumamos varias veces un mismo número?

Veamos: 2 + 2 + 2 + 2 = (estamos sumando cuatro veces 2)

La cantidad de veces que sumamos un mismo número puede transformarse en una nueva operación: el producto, comúnmente llamado multiplicación.

2 + 2 + 2 + 2 = 4 . 2 = 8

Una de las torturas más desesperantes es aprender las tablas de memoria. Es torturante, inadecuado y una pérdida de tiempo. Cuando se entiende de donde viene la multiplicación, es más fácil realizar la suma para obtener el resultado que buscamos.

Si no te acuerdas cuanto es  7 . 3, en vez de forzar la mente tratando de recordar, toma un lápiz y una hoja y suma 3 veces 7 ó 7 veces tres. Parece una tontería, pero de esta manera estás entrenando a tu mente y no dependiendo de la memoria.

Realicemos otra cuenta simple:

– 2 – 2 – 2 – 2 = (Estamos sumando cuatro veces – 2.)

Aquí aparece otro elemento importante: el paréntesis Si no separamos bien los números podemos confundirnos la multiplicación con una resta. Ojo, en medio de un examen, con los nervios, eso es lo que generalmente ocurre si no encierras al – 2 entre paréntesis.

– 2 – 2 – 2 – 2 =  4 . (– 2) = – 8

Nuevamente es más fácil tomar lápiz y papel (aunque sea de manera imaginaria) y resolver las cuentas, en vez de tratar de recordar reglas que no entendemos para que han sido inventadas. (De necesitar alguna regla... invéntatela tú, va a ser más efectiva)

5 . (– 7) = (Si no te acuerdas, en papel aparte, suma cinco veces 7 y te darás cuenta que al sumar un número negativo el resultado también es negativo. Es la razón por la cual más por menos es menos... )

Es fundamental que uses menos la memoria y más el cerebro... o sea, lápiz y papel.

Fíjate que en ningún momento hablé de calculadora.  Para ejercicios simples, no es recomendable el uso de la calculadora ya que no te deja ejercitar el proceso que necesita tu mente para poder entender y resolver los ejercicios matemáticos. Si quieres aprender realmente, deja la calcu guardada en un cajón.

Demostrar que el producto de dos números enteros positivos es también positivo no es gran problema, pero el producto de dos números negativos... ahí si que es difícil. Y necesitamos un poco de lógica para poder entenderlo.

La multiplicación y los signos

Otro tormento aplicado durante generaciones es el recordar la regla de los signos. Más por más, más. Menos por menos, más. Más por menos, menos. Menos por más, menos... y al final el alumno termina con un embrollo en la cabeza por el cual ni siquiera se acuerda como era "más o menos" su propio nombre.

Intentemos algo completamente diferente.

Matemática se rige por lógica, y la lógica tiene la ventaja de expresar todo un pensamiento (una oración) en una sola letra. Pongamos un ejemplo para entender de lo que hablamos.

"Está lloviendo" es una afirmación y en lógica esta afirmación es positiva y puede representarse mediante una letra positiva: q (recuerda que el signo positivo no se escribe delante).

Está lloviendo = q

Ahora neguemos esta oración, lo que es muy sencillo, sólo debemos colocar el no delante de ella. "No está lloviendo"

De la misma manera que el signo + representa una afirmación, el signo – representa la negación.

No está lloviendo = – q

De esta manera el indicar 2, es una afirmación y – 2 es su negación. Por ejemplo: 2, los dos pesos que tengo para gastar y – 2 los que no tengo para gastar.

Ahora nos enfrentamos al problema de negar la negación... Un trabalenguas que resulta mucho más simple desde el punto de vista matemático...

Sigamos con el ejemplo de la lluvia.

Niego que no este lloviendo

Observa que la palabra "que" tiene la función de separar las dos negaciones. Pero lo más importante es que si niego que no está lloviendo, eso implica que sí esta lloviendo. Negar una negación implica afirmar...

Niego que no este lloviendo = Está lloviendo.

De manera similar al uso de la palabra "que", en matemática (y en lógica) se usa el paréntesis para separar los dos no, o sea los dos signos negativos.

Niego que no este lloviendo = – (– q)

Niego que no este lloviendo = Está lloviendo.

– (– q) = q

En lógica negar la negación es lo mismo que afirmar.

Podemos entender la regla de los signos de una manera completamente distinta e interpretarla sin necesidad de memorizar nada.

Así que podemos expresar la regla de los signos como afirmar en caso de + delante del paréntesis ó negar en caso de –.

+ (– 2) =

Afirmo que es no... o sea no

+ ( – 2) = – 2

– ( + 3) =

Niego que es si... o sea no

– (+ 3) = – 3

+ ( + 5) =

Afirmo que es si... o sea si.

+ (+ 5) = + 5

Separar en términos

Nuevamente enunciemos una propiedad fundamental para poder resolver los ejercicios.

La multiplicación y la división se realizan antes que una suma o resta.

Es lo que comúnmente se denomina "separar en términos".

Observa que se pone el igual al comienzo y al final de cada una de las cuentas que se ubican en cada renglón, así se indica donde termina y comienza cada una. Si no lo pusieras, puede interpretarse que la cuenta sigue.

Parece una tontería pero este error es muy recurrente y es cuestión de cincelar en la memoria la prioridad de la multiplicación o la división. Realicemos un pequeño ejercicio en el que te transformarás en profesor y descubrirás los errores de los siguientes ejercicios. 

2 . 3 + 4 . 5 + 6 . 7 =     2 7 11  7     1078

Es evidente que no se han respetado los términos, pero tampoco se ubican los iguales y no se ha puesto los puntos para saber si es o no una multiplicación. La persona que ha hecho este ejercicio sabe (o se acuerda) lo que hizo, pero es bastante difícil interpretar donde comienza y termina el ejercicio. 

Colocar espacios no es lo mismo que colocar el =. 

Nunca supongas que el profesor entenderá lo que quisiste poner... 

Veamos otro caso:

10 : 2 – 15 : 5 – 2 . 4 =  5

= 3

= 8

= 5 + 3 + 8 = 16

Si bien puede decirse que estoy exagerando ya que el ejercicio es muy simple, este es un típico error que suelen cometer muchos alumnos. Cada igual representa una cuenta auxiliar pero en vez de hacerla al costado, queda allí y lo único que se logra es confundirse y olvidarse los signos... lo que hará que el ejercicio esté mal aunque las cuentas parciales (la división o la multiplicación) estén bien. Matemáticamente es un error muy grave ya que estás diciendo que el ejercicio tiene cuatro resultados totalmente distintos... y sólo puede tener un sólo resultado ya que es una igualdad.

Ahora en una hoja a parte realiza las cuentas.

1) 2 . 3 + 4 . 5 + 6 . 7 =

2) 10 : 2 – 15 : 5 – 2 . 4 =



Rta.: 1) 68  2) – 6

Uso del Paréntesis

Ya habíamos visto que el paréntesis sirve para separar. Ahora veremos que también indica prioridad, o sea cual debe resolverse primero.

2 . 3 + 2 = 6 + 2 = 8

En esta cuenta la multiplicación se realiza antes que la suma. Si queremos hacer la suma antes que la multiplicación, debemos encerrar a la suma entre paréntesis.

2 . ( 3 + 2) =   (El paréntesis nos está diciendo que la prioridad es la suma)

2 . 5 = 10

Observa que el resultado ha sido completamente diferente cuando se unas paréntesis a cuando no se usa...

Pongamos otro ejemplo remarcando con rojo el paréntesis que se debe resolver antes de hacer las sumas...

Ahora unos pequeños ejercicios que te permitirá fijar y entender el uso del paréntesis.

Ubica en la cuenta un solo par de paréntesis para que te de el resultado indicado.

a) 2 . 3 + 4 . 5 – 6 . 7 = 27

b) 2 . 3 + 4 . 5 – 6 . 7 = 104

c) 2 . 3 + 4 . 5 – 6 . 7 = 238