Conjunto

Conceptos Primitivos y Axiomas

El juego está íntimamente ligado al aprendizaje. Cuando un perro o un gato están jugando van incorporando y puliendo las técnicas de caza que le permitirán sobrevivir en su vida de adulto. Con los niños pasa algo parecido ya que los juegos permiten a los chicos incorporar las reglas de la sociedad en la que viven.

Una manera de encarar la matemática es mediante el juego. Pero ¿cómo jugar con algo que no se ve? La respuesta es: imaginación.

En una mesa de verdad yo puedo apilar una cierta cantidad de CD ya que el espacio físico me limita o la fuerza de gravedad hará que se caigan. Pero si yo imagino una mesa, la cantidad de CDs imaginarios que puedo colocar llegarán a ser infinitos.

En el mundo real puedo cortar una hoja de papel una determinada cantidad de veces hasta que el pedazo sea tan pequeño que me sea imposible seguir. Pero un papel imaginario  puede ser cortado tan pequeño como yo quiera, sin ningún problema.

Los elementos imaginarios nos dan una libertad que en el mundo real no existe.

Pues bien, matemática trabaja con elementos de un mundo imaginario que no existe fuera de nuestra mente.

Nunca has visto al número tres.

Antes de protestar y tratar de desmentirme piensa. Este símbolo: 3, o este III sólo son representaciones  de algo que convencionalmente llamamos número tres, pero jamás te encontrarás cara a cara con este número. Ni con ningún otro.

Así que matemática es como un juego cuyas "fichas" son elementos que no existen fuera de nuestra cabeza y necesitamos imaginación para poder jugar con ellas.

Estas fichas son bastante diversas y reciben el nombre de Conceptos Primitivos.

Los números son conceptos primitivos, así como lo son los puntos, las rectas, los planos, los conjuntos, etc.

Para jugar con estas fichas, se necesitan reglas. Estas reglas, básicas, se denominan axiomas, que son afirmaciones que aceptamos sin discusión.

Por ejemplo, el punto y la recta son conceptos primitivos, indicando el axioma que "por un punto pasan infinitas rectas" estamos indicando una manera de jugar. 

En base a los axiomas se pueden "construir" propiedades, a las que denominamos teoremas, afirmaciones cuya validez puede probarse, deducirse lógicamente. De estas propiedades se deducen otras, y así sucesivamente hasta quedar armada una intrincada red.

De la misma manera que no se puede entender una película a la que empezamos a ver por la mitad, no podemos entender (apreciar, ni disfrutar) del poder de las matemáticas si no comenzamos por el principio.

Conjuntos

Los conjuntos son conceptos primitivos los podemos imaginar que son; una totalidad, una reunión de cosas. ¿Qué hacemos con ellos?

Comencemos por conocer la reglamentación básica: a todo conjunto se le da un nombre que siempre es una letra mayúscula. Los elementos que lo forman se representan mediante letras minúsculas. Podemos dibujarlo o escribirlo. Para dibujarlo utilizamos una línea cerrada, que llamamos diagrama de Venn. Para escribirlo empleamos un par de llaves "{" entre las cuales indicamos los elementos que pertenecen al conjunto separándolos, uno de otro, con ";".

Hasta este momento sólo hemos nombrado los elementos que componen al conjunto, lo hemos definido por extensión. Pero podemos indicar "la característica" de esos elementos, buscar en dos o tres palabras, como máximo, lo que distingue a ese conjunto de elementos, de esa manera estamos definiendo al conjunto por comprensión.

Pongamos un ejemplo:

Si definimos por extensión escribimos: A = {a; e; i; o; u}

Por comprensión se escribe: A = {x/x es una letra vocal}

Este conjunto está compuesto por letras, cada una de éstas tienen una característica en común, cada elemento es una vocal. Es importante distinguir que como nos referimos a cada elemento que compone el conjunto, hablamos en singular. Conviene, entonces, utilizar una letra a manera de "nombre" para no tener que estar indicando (escribiendo a cada momento) "que el elemento del conjunto es..." Utilizamos una letra para que represente a cualquier tipo de elemento, esa letra siempre es la "x". Al escribir " x/x " (se lee x tal que x) indicamos lo que es x, lo que es "cada" elemento que compone al conjunto.

Demos otros ejemplos:

B = {x/x es una nota musical } 

B = {do; re; mi; fa; sol; la; si}

C = {x/x es un número de una sola cifra} 

C = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}

Ahora te toca a ti, toma lápiz y papel, y enuncia por extensión cada conjunto:

D = {x/x es un miembro del conjunto musical que te gusta}

D = {

E = {x/x es el nombre de la chica/o que te gusta}

E = {

Tamaño o Cardinal de un Conjunto

Intuitivamente podemos darnos cuenta que dos conjuntos no tienen la misma cantidad de elementos. Veamos dos ejemplo: el conjunto A = {x/x es una vocal} está compuesto por cinco elementos mientras que el conjunto B = {x/x es una nota musical} está compuesto por siete.

Estamos listos para definir una nueva propiedad matemática para los conjuntos, el cardinal, que es el número que determina el tamaño del conjunto, la cantidad de elementos que contiene.

Aclaremos que cuando se indica que cierta propiedad "determina", se está diciendo que existe y es única.

Volviendo al cardinal, hay varias formas de representar esta propiedad. Algunos autores suelen asignarle un símbolo (#), otros encierran al número entre barras. De esta manera el conjunto D = {x/x es un mes del año} tiene por cardinal a 12 y se lo puede designar: #12 ó |12|.

Ahora indica el cardinal de los conjuntos D y E.

Conjunto vacío: Si el conjunto no tuviera elementos, se lo denomina vacío, y se lo designa con el símbolo Æ ó {}. En este caso su cardinal es cero .

Conjunto infinito: Cuando no podemos indicar la cantidad de elementos que compone a un conjunto, por que son tantos que no existe un cardinal que pueda determinar su tamaño, decimos que el conjunto es infinito.

Infinito, cuyo símbolo es ∞, no es un número, indica que el conjunto crece o decrece sin final. Por ejemplo, el conjunto de las estrellas que vemos en el cielo es infinito, así mismo los siguientes conjuntos que trataremos, los conjuntos numéricos, también lo son.

Volveremos al tema del "infinito" más adelante... pero puedes ver el video que explica lo que has leído

Conjunto Numérico

Cuando un niño descubre a los números se maravilla, se sorprende. Los números parecieran ser elementos mágicos por que le permiten conocer cuantos caramelos puede comer; comparar y decidir si tiene más o menos bolitas que su amiguito. Esa misma fascinación pudo haberla sentido el hombre primitivo al aprender a contar; justamente, los primeros números que naturalmente aprendemos son los números naturales como el 1, el 2, el 3, el 4, el 10, el 23, el 120, etc.

Los números naturales forman un conjunto, el conjunto de los números naturales que se representa con la letra N.

Conjuntamente con el descubrimiento del número, incluso sin darnos cuenta, empezamos a sumar. Hasta parece tonto aclarar que si se suman dos números naturales obtenemos otro número natural  "N + N = N" , pero en matemática lo obvio hay que dejarlo bien claro.

De la suma surge, por contraposición, la resta y a partir de ella nos encontramos con un pequeño problema: al restar dos números naturales no siempre obtendremos otro natural.

Pongamos un ejemplo: 2 – 5 = – 3 (el resultado no es natural)

Evidentemente se necesita un nuevo conjunto de números, los números negativos, para poder solucionar este tipo de operaciones. Aquí nos encontramos con números positivos y negativos, pero todos ellos enteros; nos hemos topado, por lo tanto, con un nuevo conjunto, el conjunto de los números enteros y ellos se representan mediante la letra "Z".

Aunque parezca redundante, el sumar o restar números enteros nos da como resultado otro número entero.

Z + Z = Z                                    Z – Z = Z

Si sumamos "5 + 5 + 5 + 5" estamos sumando cuatro veces cinco, lo podemos indicar como: 4.5 en ambos casos el resultado es el mismo, 20.

Sumar varias veces un mismo número puede se más fácil y rápido si se expresa como multiplicación.

Nuevamente aclaramos que: multiplicar dos enteros entre sí da como resultado otro entero: Z . Z = Z

Vimos como de la suma surge, como contraposición, la resta y con ella los números negativos. De esa misma manera de la multiplicación emerge la división, el resultado de esta operación expresada como fracción se denomina razón, por lo tanto, todo número obtenido de este modo lo llamaremos racional (Q) Y los números racionales también forman un conjunto, el conjunto de los números racionales.

Todas las fracciones son divisiones de números enteros cuyos resultados son decimales periódicos. Ojo está mal dicho números fraccionarios o quebrados, los números se denominan racionales.

La fracción a/b representa la división entre dos números enteros a y b

Si encontramos un número que no puede obtenerse por la división de dos enteros, ese número no puede llamarse racional, lo denominaremos irracional, y formará otro conjunto, el conjunto de los números irracionales.

El prestigioso número p es un irracional muy conocido, pero también lo son la raíz de dos, raíz de tres, o raíz cuadrada de cualquier número primo (o sea aquel número que pueda ser dividido únicamente por si mismo y por uno para dar un resultado entero) 

A todos estos números que hemos visto hasta ahora se los denomina números reales; al conjunto de los números reales se lo representa con la letra "R".

Pertenencia e inclusión

Cuando hablamos de un elemento, decimos que este pertenece a un conjunto. Cuando un conjunto tiene todos los elementos del otro y más, decimos que el primer conjunto está incluido.

Cuando un conjunto está incluido en otro más grande se lo denomina subconjunto. Por ejemplo N (naturales) es un subconjunto de Z (enteros).

 Los elementos pertenecen a un conjunto 

 Un conjunto está incluido en otro conjunto  

El signo de pertenencia es "Î", por ejemplo: 2 Î N ( 2 pertenece al conjunto de los naturales)

El signo de inclusión es " Ì ", por ejemplo: N Ì R ( los naturales están incluidos en los reales)