Límites

Imagínate que sufres una pesadilla (por tanto estudiar matemática) en la que te encuentras durmiendo en tu habitación y tu cama se halla cerca de una puerta. Ante la urgencia de ir al baño, te levantas y te acercas a la puerta para abrirla. Caminas hacia ella y estiras el brazo para agarrar el picaporte. A medida que caminas te percatas que estas cada vez más cerca, pero no alcanzas a tocar el picaporte. Comienzas a desesperarte y empiezas a correr tratando de agarrarlo, pero, no puedes. No importa cuanto lo intentes siempre hay un espacio entre tu mano y el picaporte, aunque ese espacio se reduce y se hace más pequeño a medida que avanzas, te das cuenta que jamás tocarás el picaporte.
Esa "pesadilla" tiene nombre matemático "límite".

Desde el punto de vista del conjunto de los números reales, que es denso (infinito e infinitésimo), podemos encontrar entre dos números consecutivos infinitos números:  tomemos dos números, por ejemplo, 4 y 5, busquemos un número real entre ellos, podemos tomar 4,5 que está entre 4 y 5 

4 .... 4,5 ..... 5

Ahora busquemos un número entre 4 y 4,5

(podemos tomar 4,3 que está entre 4 y 4,5) 

4 ...... 4,3 ..... 4,5 

Ahora busquemos un número entre 4 y 4,3

(podemos tomar 4,1 que está entre 4 y 4,3)

4 ....... 4,1 ...... 4,3

Ahora busquemos un número entre 4 y 4,1

(podemos tomar 4,08 que está entre 4 y 4,1)

4 ...... 4,08 .... 4,1

Ahora busquemos un número entre 4 y 4,08

(podemos tomar 4,001 que está entre 4 y 4,08)

4 ..... 4,001 .... 4,08

Podemos seguir así eternamente. Siempre nos podremos acercar al número "4" todo lo que queramos sin llegar a él. Justamente "4" es el límite que no podemos tocar. Como nos acercamos desde valores mayores a 4, se dice que nos "acercamos por la derecha". 

Si nos acercáramos con valores más pequeños, nos "acercaríamos por la izquierda".

El concepto de límite está íntimamente ligado al concepto de función. Cada uno de los números que se acerca a 4 pueden obtenerse de una ecuación (lineal por ejemplo) como y = 4 + x. Donde al darle valores a x obtenemos "esos" números que se acercan a 4 por derecha e izquierda. Evidentemente, de acuerdo al tipo de ecuación que tengamos, serán los valores de x a tomar en cuenta.

En este caso no nos interesa cuando x = 0, ya que no queremos que "la cuenta" de 4 (que es nuestro límite).

x y = 4 + x – 0,1 3,9 – 0,01 3,99 – 0,001 3,999 – 0,0001 3,9999

← Por izquierda Por derecha →

x y = 4 + x  0,1 4,1  0,01 4,01  0,001 4,001  0,0001 4,0001

El valor de x se acerca a "cero" y el valor de "y" (la imagen de la función) se acerca a 4. Para hablar con propiedad, en matemática no se dice "se acerca a" sino "tiende a"; x tiende a cero cuando y tiende a cuatro. Es real, a los que hacemos matemática no nos gusta escribir mucho. Se reemplaza las palabras con símbolos para ahorrar tiempo (el esfuerzo mental se reserva para el problema matemático). Así que en vez de escribir "tiende a" se pone una flecha. De manera que "x tiende a cero" se indica "x ® 0" e "y tiende a cuatro" se escribe como "y → 4".

Ya estamos un poco más cerca de poder leer "matemáticamente". El límite (lím) suele escribirse indicando debajo de él el valor a que tiende x, seguido de la ecuación que se analiza y (después del igual) se indica el valor del límite.

No siempre los límites laterales (izquierda y derecha) son iguales. Analicemos la siguiente función.

Para hallar el límite de esta función (paramétrica) debemos separar la parte de la ecuación que se utiliza para valores menores o iguales que "1", (x + 3), de la parte que se utiliza con los valores mayores a "1", o sea, (x – 1).

Nuevamente (para escribir menos) indicamos con el signo "+" (colocado como superíndice en el lado derecho del número a que tiende x) cuando analizamos una función desde la derecha. Para Calcular el límite, sencillamente reemplazamos "x" por el número a que tiende: 

Indicamos con el signo"–" (colocado como superíndice en el lado derecho del número a que tiende x) cuando analizamos una función desde la izquierda. Para Calcular el límite, sencillamente reemplazamos "x" por el número a que tiende:

Los límites laterales (izquierda y derecha) no son iguales, entonces, la función no tiene límite en x = 1.

Probemos con otra función y analicemos los límites laterales; si ellos dan lo mismo, el límite de la función es ese valor.

Definición matemática de límite

Hemos visto que el proceso de límite es un "acercamiento perpetuo" a un valor determinado de x (al que llamaremos x_o) en una función, sin importarnos cual sea la imagen de x.

Para poder entender el proceso de límite necesitamos utilizar nuestra imaginación, buscando una metáfora del proceso de límite, podríamos compararlo con la llegada de un tren a la estación. No nos importa que estación sea ni cómo se llame, ni siquiera como es la estación. Lo único que nos interesa cómo se acerca el tren (de cualquiera de los dos lados).

Si bien la definición de límite puede variar mínimamente de un libro a otro, vamos a encontrar la misma estructura en cada uno de ellos y (generalmente) se utilizan las mismas letras para no crear confusión. En este caso utilizaré la definición que se encuentra en el libro de análisis matemático I de la cátedra Thomson de ciencias económicas de la Universidad de Buenos Aires (UBA) (2008)

Sea f una función definida en todos los puntos del intervalo (a, b), salvo quizás en x_o perteneciente a (a, b). Decimos que f_(x) tiene límite L cuando x se acerca a x_o notándolo (escribiéndolo como) :

Presupongo que para la mayoría que esté leyendo este artículo, leer esta definición se asemeja mucho a tratar de descifrar un texto en sánscrito, por lo que traduciré lo que significa.

La definición nos habla de un intervalo (a, b) dentro del cual hallamos el valor de x_o que buscamos. No nos sirve que esté fuera ya que queremos indicar claramente donde podemos encontrarlo. Si decimos que x_o pertenece al intervalo (1, 2) ella tiene muchos valores posibles pero siempre será mayor que 1 y menor que 2. Así que cuanto más pequeño sea el intervalo, mejor "definido" estará el valor de x_o.  Justamente la distancia entre a y x_o se denomina δ. Como a y b son valores de x esa distancia (que la calculamos como una resta) se escribe x – x_o. 

Nos interesa el valor de la distancia por lo que la operación se encierra en un módulo (valor absoluto).

Así δ es la distancia entre x_o y cualquiera de los extremos del intervalo que lo contiene. Cuando se escribe ∃δ > 0, se quiere decir que existe una δ cuyo valor es positivo (mayor que cero) ya que representa una distancia.

Cuando se escribe: 0 < | x – x_o.| < δ, se está diciendo que ese valor lo calculamos restando los extremos del intervalo con el valor medio que representa x_o. Determinando un entorno reducido cuyo radio es δ.

Lo mismo sucede en la imagen, pero en este caso el radio del entorno reducido se denomina ε. Así que ∀ε > 0, se traduce como: para todo épsilon que es mayor que cero. Nuevamente tenemos una distancia pequeña y positiva que corresponde a las imágenes. Donde antes teníamos a x ahora encontramos a f_(x), donde estaba x_o ahora nos encontramos con su imagen L, así tenemos que

|f_(x) – L| < ε

Entonces ahora traduzcamos la definición de límites:

Tenemos un límite de x tendiendo a x_o cuyo límite es L, si y sólo si, para todo valor de épsilon mayor que cero, existe un valor delta, también mayor a cero, de manera que la diferencia (recta) entre x y x_o sea positiva y menor a delta, entonces, hallaremos una diferencia entre f_(x) y L de manera que sea menor a épsilon.

Esta definición relaciona los radios de los entornos reducidos entre sí y nos permite "elegir" cuan pequeños queremos que sea ese intervalo. δ se halla sobre el eje x, mientras que ε se halla sobre el eje y.

Otra pregunta frecuente es ¿para que nos sirve todo esto?.... 

Para contestar esta pregunta, nuevamente, necesitas imaginación, ya que δ, ε, x, f_(x) carecen de significado, y pueden representar muchas cosas.

Imaginemos que estamos investigando la acción de una droga en pacientes oncológicos (que padecen cáncer).x puede representar la cantidad administrada de un medicamento, mientras que y (f_(x)) representa la presión sanguínea generada por el medicamento. Así pues, x_o es la dosis que produce una presión L que puede producir un derrame cerebral en el paciente, pero que elimina eficazmente las células cancerígenas. Aquí adquiere gran importancia δ y ε, queremos acercarnos pero no llegar. Para eso sirve el proceso de límite (en este caso un límite desde la izquierda que tiende a valores menores de x_o)

Aplicaciones de límites en diversas funciones matemáticas

Los límites tienen muchas aplicaciones, una de ellas se ejemplifica en las funciones Homográficas cuya ecuación canónica puede escribirse como:

De las que tenemos que tenemos la definición de asíntotas (horizontal, vertical y oblicua) cuya explicación se encuentra en dichas funciones.

Cuando el límite (de x tendiendo a un valor que depende de la función, por eso la llamamos "a") por izquierda y por derecha tiende a infinito; característica que define a la asíntota vertical.

Cuando el límite (de x tendiendo a infinito por izquierda "– ¥" y por derecha "+ ¥") tiende a un valor que depende de la función, por eso la llamamos "b"; característica que define a la asíntota horizontal.

Si a = 0 y b = 0, podemos reducir a los conocidos

(ver desarrollo en función homográfica)

Limites de funciones exponenciales

Ver funciones exponenciales y logarítmicas primero.

Otra aplicación de límites podemos hallarlas en las ecuaciones exponenciales de tipo

que nos permitirá hallar el valor de e, la base de los logaritmos neperianos o naturales.

Es de destacar que el intervalo [–1, 0] no pertenece al dominio de la función (queda en ustedes averiguar por qué). 

A medida que x se hace más grande, tiende a infinito positivo (x ® +¥) la imagen "se acerca a un valor" 2,718281828 ... (número irracional) que se lo denomina e. De igual manera, si tomamos valores de x cada vez más chiquitos, tiende a infinito negativo (x ® - ¥) la imagen también "se acerca al mismo valor" e.

Otra aplicación similar podemos hallarla en las funciones cuya ecuación exponencial es del tipo f _(x) = (1 + x)^1/x.

Nuevamente el dominio está restringido, en este caso, a valores mayores a – 1. Si hacemos que x tienda a cero, por izquierda y por derecha, el valor del límite (las imágenes que obtenemos al resolver la ecuación con cada valor de x elegido)  también dará como resultado e.

¿Cómo resolver un ejercicio de límite?

Funciones Homográficas:

 Este tipo de funciones se incluyen dentro de las Funciones potenciales f_(x) = x^a donde a es un número cualquiera menor que cero, a < 0 .

Veamos que sucede cuando a = -1.

Grafiquemos f_(x) = x ^{– 1} podemos expresar esta ecuación de otro modo:

Completemos la tabla y coloquemos los puntos en un eje cartesiano:

x	- 5	- 4	- 3	- 2	- 1	0	1	2	3	4	5
f (x)	- 0,20	- 0,25	- 0,33	- 0,50	- 1,00	No existe	1,00	0,25	0,33	0,25	0,20

No se puede dividir ningún número por cero, ya que todo número multiplicado por cero da como resultado únicamente cero. Así que del dominio de este tipo de funciones, hay que sacar los valores de x que hacen que el denominador sea cero.

Dominio: R – {0}

Vimos que no podemos calcular el valor de la función cuando x = 0. Cabe preguntarnos ¿qué sucede con los valores cercanos de cero? Completemos el cuadro poniendo valores cada vez más cercanos a ese número.

x	0,1	0,01	0,001	0,0001	0,00001	- 0,1	- 0,001	- 0,0001	- 0,00001
f (x)	10	100	1000	10000	100000	- 10	- 100	- 1000	- 100000

Vemos que a medida que el valor de x es se acerca a cero (se dice: tiende a cero) el resultado crece, tiende a infinito.

El valor que tiende f_(x) es el límite. Imagínate una pared a la que puedes acercarte todo lo que quieras, pero no la puedes tocar, esa misma representación es el límite. Cuando x → 0 (x tiende a cero), f_(x) → ∞ ( f_(x) tiende a infinito) y el infinito es el límite, el valor al que te podes cercar, pero no llegar.

De manera parecida, observamos que podemos acercarnos a cero cuanto queramos (ubicando números cada vez más cercanos a cero, sean positivos o negativos) pero jamás x va a ser igual que cero, (x = 0). Este valor representa un corte en la función, lo llamamos asíntota. Este corte es paralelo al eje y, así que se lo llama Asíntota Vertical (A. V.)

Asíntota Vertical: {0}

Hagamos otra tabla con valores cada vez más grandes:

x	-1000	-100	-10	-1	No existe	1	10	100	1000
f (x)	- 0,001	- 0,01	- 0,1	- 1	0	1	0,1	0,01	0,001

¿Qué sucede con la imagen?.

A medida que los valores de x se hacen más grande (tiende a infinito), o se hacen más chicos (tiende a menos infinito), los resultados son cada vez más pequeños. Pero la división de dos números jamás dará como resultado cero. Sobre el eje y hallamos este número que no es imagen de ningún elemento del dominio. Hallamos que este valor es una asíntota paralela al eje x, por lo que la llamamos Asíntota horizontal (A. H.). 

 Asíntota Horizontal: {0}

Para cualquier función homográfica puede representarse como:

Las asíntotas están relacionadas con los límites 

La asíntota vertical está ubicada en el valor de las x cuyo límite tiende a infinito.

Para cualquier valor de a, tenemos que:

 La asíntota vertical es el valor de a.

A.V. = {a}

Para cualquier valor de b tenemos que

La Asíntota horizontal es el valor de b.

A. H. ={b}

Análisis de función polinómica

Un polinomio es una función, donde el dominio depende de la cantidad de variables a los que esté sometido. En este caso analizaremos polinomios que dependen de una sola variable, x, por lo tanto el dominio son los R (reales).

Por ser función a cada valor de x le corresponde un solo valor de y  o (como estamos hablando de polinomios) P_(x).

El análisis y la gráfica son parecidos a los que hemos hecho con la parábola, así que comencemos por hallar los ceros o raíces de la función así podemos factorizar el polinomio.

El grado del polinomio nos indica la máxima cantidad de ceros que podemos hallar. En un binomio (dos términos) de grado 1, hallamos una sola raíz. En un polinomio de grado 2, podemos hallar hasta dos raíces, en uno de grado tres podemos encontrar hasta tres raíces...

Un matemático llamado Bolzano se dio cuenta que si las imágenes de dos valores distintos (y cercanos) de x tenían distintos signos, necesariamente debía haber un cero en el intervalo que los tenía a ellos (los valores de x) por extremos.

Lo interesante es que entre dos ceros consecutivos sólo hallamos un signo para todas las imágenes. Todas serán positivas o negativas.

Esta característica nos ahorra mucho trabajo ya nos permite saber si la gráfica del polinomio tendrá "panza para arriba" en el caso de imágenes positivas, o panza para abajo si son negativas. Lo único que tenemos que hacer es tomar un valor de x que pertenezca a ese intervalo y hallar el signo de la imagen.

Al igual que la parábola, aquí tenemos conjunto de positividad y de negatividad.

Nada mejor que un ejemplo para entender lo que hemos explicado...

Tomemos un polinomio de tercer grado,  y usando la técnica de Gauss, lo factorizamos. Así podremos analizar fácilmente al polinomio.

Tenemos los ceros de la función C^o = {– 2, 1, 5} coloquémoslos en un cuadro (justo aquí abajo). Para facilitar la comprensión, pinté de amarillo el cuadro de los ceros. Cada cero "divide" el dominio en intervalos los que he colocado en orden creciente (de menor a mayor) en el cuadro, el que tiene tres líneas punteadas, una para cada binomio de la ecuación factorial.

Ahora tomemos un número en cada intervalo para verificar el signo de la imagen en cada caso. 

En el primer intervalo que va desde el infinito de los negativos hasta menos dos, podemos tomar cualquier número que pertenezca al intervalo, arbitrariamente elijo al menos tres y con él calculo el signo de la imagen para cada binomio ya que el valor del resultado no me interesa, sólo el signo. Fíjense que nos quedan tres signos negativos, por la regla de los signos, el producto de los tres será negativo.

Coloquemos los signos en la columna correspondiente.

Podemos ver que el intervalo (– ∞, – 2) está incluido dentro de C^–.

Ahora hagamos lo mismo en el intervalo siguiente para ver el signo que queda al final.

Se puede tomar cualquier número que pertenezca al intervalo. En este caso elijo el 0 para que las cuentas resulten fáciles de resolver. No me interesan los resultados sino los signos. Como tengo una cantidad par de signos negativos el producto de los tres dará como resultado un signo positivo para todo el intervalo. O sea, todas las imagenes de ese intervalo son positivas.

Vemos que el intervalo ( – 2, 1) está incluido dentro de C⁺

Volvamos a repetir lo que hemos hecho, pero ahora con el intervalo siguiente (1, 5)

Y ahora lo hacemos con el último intervalo.

Podemos indicar los intervalos de positividad y negatividad que hemos encontrado y además podemos hacer el gráfico aproximado de este polinomio siguiendo lo que nos indica la tabla. En el caso de los intervalos cuyo extremo es infinito, los dibujamos abiertos, sin cerrar "la panza", mientras que los intervalos entre ceros hacemos "pancita para arriba" en los de positividad y "pancita para abajo" en los de negatividad.... (pueden reírse a gusto con mis metáforas matemáticas...)

Polinomios

Definición: Se llama polinomio en "x" de grado "n" a una expresión del tipo

P_(x) = a₀ xⁿ + a₁ x^{n – 1} + ... + a _n

Donde n Î N (número natural) ; a₀, a₁, a₂, ... , a_n son coeficientes reales (pertenecientes al conjunto de los números reales) y "x" se denomina coeficiente indeterminado.

Grado de un polinomio: está determinado por el término que posee el valor de potencia más alto.

Ejemplo:

P_(x) = x² + 3x – 4 Polinomio de grado 2

R_(x) = 3 Polinomio de grado 0

Q_(x) = x⁵ + 7 x³ – 2 Polinomio de grado 5

M_(x) = 0 Polinomio nulo.

Valor numérico de un polinomio: es el número que se obtiene al sustituir la x por un valor dado y efectuar, luego, las operaciones indicadas.

Ejemplo: sea P_(x) = x² + 3x – 4  hallar  P₍₂₎ 

Se reemplaza el 2 en cada una de las x y se realiza la cuenta pertinente.

P₍₂₎ = 2² + 3.2 – 4 Þ P₍₂₎ = 4 + 6 – 4 Þ P₍₂₎ = 6

Polinomio opuesto: Dado dos polinomios, se dicen que son opuestos si sus coeficientes, de igual grado, son opuestos. Para indicar que es el polinomio opuesto se ubica un "-" delante del polinomio.

Ejemplo: sea P_(x) = x² + 3x – 4 (es opuesto a) - P_(x) = - x² – 3x + 4

Igualdad de polinomios: Dos polinomios son iguales si tienen el mismo grado y sus coeficientes de igual grado, son iguales.

Aunque los polinomios pueden tener varias variables en diferentes términos, en este apunte sólo se tratarán los polinomios que tienen una sola variable indeterminada.

Adición De Polinomios: Dos polinomios se suman agrupando los términos de uno y otro y simplificando los monomios semejantes (del mismo grado). Para realizar en la práctica la suma de dos polinomios se sitúan uno sobre otro haciendo coincidir en la misma columna los términos de igual grado, con lo que la simplificación de términos semejantes es automática. Pero puede hacerse más fácil la operación reuniendo los términos de igual grado y sumarlos o restarlos según su signo.

Para sumar P_(x) = 3x⁴ – 5x² + 7x  con  Q_(x) = x³ + 2x² – 11x + 3 

se procede así:

P_(x) + Q_(x) = (3x⁴ – 5x² + 7x) + (x³ + 2x² – 11x + 3)

= 3x⁴ + x³ + x² (2– 5) + x (7 – 11) + 3 = 

= 3x⁴ + x³ – 3x² – 4x + 3 

La adición de polinomios cumple las propiedades asociativa y conmutativa.

El polinomio cero es el número 0, pues sumado con cualquier polinomio no lo altera, por lo que es el elemento neutro de la suma. Todo polinomio tiene un opuesto, que se obtiene cambiando el signo de todos sus monomios. Si a un polinomio le sumamos su opuesto se obtiene el número 0 (polinomio neutro).

Se llama diferencia de dos polinomios, P_(x) – Q_(x) , al resultado de sumarle a P_(x) el opuesto de Q_(x).

Multiplicación De Polinomios:

Para multiplicar dos polinomios se multiplica término a término cada monomio de uno por cada monomio del otro y, posteriormente, se simplifican los monomios semejantes.

A continuación, con un ejemplo, se ve cómo se procede en la práctica para efectuar el producto de dos polinomios. Para los polinomios

P_(x) = 5x + 11   y   Q_(x) = x³ + 2x² + 4:

P_(x) . Q_(x) = (5x + 11) (x³ + 2x² + 4) (aplicamos distributiva)

P_(x) . Q_(x) = 5x⁴ + 10x³ + 20x + 11x³ + 22x² + 44 (sumamos)

P_(x) . Q_(x) = 5x⁴ + (10 + 11) x³ + 22x² + 20x + 44

P_(x) . Q_(x) = 5x⁴ + 21 x³ + 22x² + 20x + 44

La multiplicación de polinomios cumple las propiedades asociativa y conmutativa.

El polinomio unidad es el número 1, pues multiplicando por cualquier polinomio no lo altera. Por tanto, es el elemento neutro del producto. No existe polinomio inverso de otro, es decir, en el conjunto de los polinomios con una indeterminada no hay elemento inverso.

La multiplicación de polinomios es distributiva respecto a la adición. Cualesquiera que sean los polinomios P(x), Q(x), R(x), se verifica que:  

P_(x) · [Q_(x) + R_(x)] = P_(x) · Q_(x) + P_(x) · R_(x)

División de polinomios: Dados dos polinomios P_(x) (llamado dividendo) y Q_(x) (llamado divisor) de modo que el grado de P_(x) sea mayor que el grado de Q_(x) y Q_(x) ¹ 0 siempre hallaremos dos polinomios C_(x) (llamado cociente) y R_(x) (llamado resto) tal que: P_(x) = Q_(x) . C_(x) + R_(x)

El grado de C_(x) está determinado por la diferencia entre los grados de P y Q, mientras que el grado de R_(x) será, como máximo, un grado menor que Q.

Para obtener los polinomios cociente y resto a partir de los polinomios dividendo y divisor se procede como en el ejemplo siguiente, con 

P_(x) = 5x³ + 7x² – 3   y   Q_(x) = x² + 2x – 1:

El cociente es C_(x) = 5x – 3, y el resto, R_(x) = 11x – 6.

La descripción del proceso es la siguiente:

El primer monomio del cociente se obtiene dividiendo el monomio de mayor grado del numerador por el del denominador: 5x³: x² = 5x

Se multiplica 5x por el divisor y el resultado se resta del dividendo.

Una vez obtenida la diferencia se inicia el proceso como si ésta fuera el dividendo.

El proceso concluye cuando la diferencia es de grado inferior al divisor.

Cuando el resto de la división es cero, entonces se dice que la división es exacta y que el dividendo, P(x), es múltiplo del divisor, o bien que P_(x) es divisible por Q_(x) y se cumple la relación:

P_(x) = Q_(x) · C_(x)

Teorema Del Resto: El resto de una división de un polinomio en "x" por un binomio de forma (x + a) es el valor numérico del polinomio dividendo para "x" igual al opuesto de "a".

R = P_{( - a )}.   Por ejemplo, si P_(x) = 3x⁴ - 5x² + 3x – 20 para x = 2 se obtiene:

P₍₂₎ = 3. 2⁴ – 5. 2² + 3. 2 – 20 = 14

Factorización de un Polinomio: (Técnica de Gauss) Se dice que un número a es raíz de un polinomio P(x) si P_(a) = 0, es decir, si el valor numérico del polinomio para x = a es cero. Se suele decir, también, que el polinomio P_(x) se anula para x = a.

Por el teorema del resto, si a es una raíz del polinomio P(x), entonces P(x) es divisible por x – a, pues el resto de dividir P(x) entre x - a es cero. A cada uno de esos valores se los suele designar x₁ , x₂, x₃, etc

P_(x) = a₀ xⁿ + a₁ x^{n – 1} + . . . + a _n

P_(x) = a₀ (x – x₁) (x – x₂) . . . (x – x_n) (Polinomio factorizado).

Habitualmente, para reconocer las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros se tiene en cuenta que éstas han de ser divisores del término independiente. Así, las raíces enteras del polinomio P_(x) = x⁴ – 6x³ + 9x² + 4x – 12 están entre los divisores de 12. Por tanto, pueden ser raíces de P_(x) los números 1, –1, 2, –2, 3, –3, 4, –4, 6,– 6, 12 y – 12.

Para descomponerlo en factores se prueba sucesivamente por todas ellas aplicando la regla de Ruffini. Para no trabajar de más se aplica el teorema del resto verificando cual de estos valores da como resto cero.

P_(x) = x⁴ – 6x³ + 9x² + 4x – 12

P₍₁₎ = 1⁴ – 6.1³ + 9.1² + 4.1– 12 = – 4

Puesto que el resto, – 4, es distinto de 0, se concluye que P_(x) no es divisible por  x  – 1, o lo que es lo mismo, 1 no es raíz de P_(x). Probando con –1:

P_{(– 1)} = (– 1)⁴ – 6.(– 1)³ + 9.(– 1)² + 4.(– 1) – 12 = 0

–1 es raíz de P_(x), es decir, P_(x) es divisible por x + 1:

P_(x) = (x + 1)(x³ –  7x² + 16x – 12)

Para hallar más raíces de P_(x), se obtienen las raíces de 

P_(x) = x³ –  7x² + 16x –  12. Se prueba de nuevo con – 1:

P_{(– 1)} = (– 1)³ –  7(– 1)² + 16(– 1) –  12 = – 36

– 1 no es raíz de P_1(x). Probando con 2:

P₍₂₎ = (2)³ –  7(2)² + 16(2) –  12 = 0

2 es raíz de P_1(x) y, por tanto, de P_(x):

P_(x) = (x + 1)(x – 2)(x² – 5x + 6)

Apliquemos cuadrática

P_(x) = (x + 1)(x – 2) (x – 2) (x – 3)

2 es nuevamente raíz de P_(x). Es una raíz doble. Ahora ya se ha conseguido la factorización completa de P_(x):

P_(x) = (x + 1)(x – 2)² (x – 3)

En caso de una ecuación polinómica, lo conveniente es: igualar a cero,  factorizar para hallar los resultados buscados de x.

¿Cómo analizar y graficar una función polinómica?

Ejercitación:

a) Decidir si las siguientes expresiones son polinomios, en caso de no serlo indicar porqué

 

Respuesta: 1) si 2) No, potencia no natural 3) No, raíz.

b) Halla el grado de cada uno de los siguientes polinomios

1) P_(x) = x² + 3x – 4

2) P_(x) = x⁴ + 5x⁷ – 4x

3) P_(x) = x² + 3x – 4x³ + 2

Respuesta: 1) Segundo grado.    2) Séptimo grado.    3) Tercer grado

c) Indicar si los polinomios están completos, ordenados o ambos. En caso de no estarlo escribirlos completos y ordenados.

1) P_(x) = 3x – 4 + x²

2) P_(x) = x³ + 3x⁵ – 2

3) P_(x) = 2x² + 7x – 4x⁴ –1

Respuesta: 1) completo, no ordenado.  2) incompleto y no ordenado.   3) incompleto y no ordenado.

d) Halla el valor numérico de los siguientes polinomios

1) P_(x) = 3x² – 4 x + 2 para x = 1

2) P_(x) = 2x³ – 4 x² + 2 x – 3 para x = - 1.

3) P_(x) = 4x² – 5 x + 2 para x = 0

Respuesta: 1) 1     2) – 11     3) 2

e) Aplicar la regla de Ruffini para calcular las siguientes divisiones y verificar el resto por el teorema de resto.

Respuesta: 

1) 7x² + 10x +15,                          

2) x + 2 (resto: 2), 

3) 5x³ – x² – 2 (resto: – 3),             

4) 5x² + 10x – 10

f) Indicar sin realizar la división si los siguientes polinomios son divisibles

1) P_(x) = x⁵ – 1                 Q_(x) = x – 1

2) P_(x) = x³ – 1                 Q_(x) = x + 1

3) P_(x) = x² + 6x + 9        Q_(x) = x + 3

4) P_(x) = x⁴ – x² – 12       Q_(x) = x + 2

Respuesta: 1) si        2) no       3) si         4) si

g) Hallar el valor de "k" para que los siguientes polinomios sean divisibles

1) P_(x) = 3x² + k x – 8              Q_(x) = x – 2

2) P_(x) = x² + (k – 2) x+ 1        Q_(x) = x + 2

3) P_(x) = (3 + k)x² + k² x – 5     Q_(x) = x – 1

Respuesta: 1) k = 2,    2) k = 9/2    3) k = 1 ó k = – 2.

h) Hallar las raíces de los siguientes polinomios (factorizarlos)

1) P_(x) = x² – 5x + 6

2) Q_(x) = 3x² + 18x + 24

3) H_(x) = x³ – 4x² – x + 4

4) R_(x) = x³ + x² – 16 x – 16

Respuesta:

1) P_(x) = (x – 3)(x – 2),                        2) Q_(x) = 3.(x + 2)(x + 4),

3) H_(x) = (x – 4)(x + 1)(x – 1),             4) R_(x) = (x + 4)(x – 4)(x + 1)

i) Resolver los siguientes problemas

1) Escribir todos los polinomios de grado tres cuya única raíz sea 3. ¿La respuesta es única.?

Respuesta:  P_(x) = a . (x – 3)³.  No "a" puede tener muchos valores.

2) Escribir un polinomio de grado tres donde 4 sea una raíz doble y – 1 una raíz simple, además que cumpla P₍₂₎ = 24 Hacer el gráfico aproximado

Respuesta: P_(x) = 2.(x – 4)² (x + 1)

3) Escribir el polinomio de grado tres sabiendo que P_(–2) = P₍₁₎ = P₍₅₎ = 0 y que P₍₀₎ = 50. Hacer el gráfico aproximado

Respuesta: P_(x) = 5 (x + 2)(x – 1)(x + 5)

4) Hallar una función polinómica de grado dos que corte al eje x en los puntos (3, 0 ) y (- 1, 0 ) y tal que f₍₀₎ = 6. Hacer el gráfico aproximado

Respuesta: P_(x) = 2 (x – 3)(x + 1)

5) Hallar la función polinómica de grado 3, cuyos ceros sean –1, 2 y 3, para que verifique que f₍₁₎ = 12

Respuesta: P_(x) = - 3 (x + 1)(x – 2)(x – 3)