Definición: Se llama polinomio en "x"
de grado "n" a una expresión del tipo
P(x) = a0 xn
+ a1 xn – 1 + ... + a
n
Donde n
Î N (número natural) ;
a0,
a1, a2, ... , an
son coeficientes reales (pertenecientes al conjunto de los números
reales) y "x" se denomina coeficiente indeterminado.
Grado de un polinomio: está determinado
por el término que posee el valor de potencia más alto.
Ejemplo:
P(x) = x2 + 3x – 4 Polinomio
de grado 2
R(x) = 3 Polinomio de grado 0
Q(x) = x5 + 7 x3 –
2 Polinomio de grado 5
M(x) = 0 Polinomio nulo.
Valor numérico de un polinomio: es el
número que se obtiene al sustituir la x por un valor dado y
efectuar, luego, las operaciones indicadas.
Ejemplo: sea P(x) = x2
+ 3x – 4 hallar P(2)
Se reemplaza el 2 en cada una de las x y se realiza la cuenta pertinente.
P(2) = 22 + 3.2 – 4
Þ P(2) = 4 + 6 – 4
Þ P(2) = 6
Polinomio opuesto: Dado dos polinomios, se
dicen que son opuestos si sus coeficientes, de igual grado, son
opuestos. Para indicar que es el polinomio opuesto se ubica un "-"
delante del polinomio.
Ejemplo: sea P(x) = x2
+ 3x – 4 (es opuesto a) - P(x)
= - x2 – 3x + 4
Igualdad de polinomios: Dos polinomios son
iguales si tienen el mismo grado y sus coeficientes de igual grado, son
iguales.
Aunque los polinomios pueden tener varias variables
en diferentes términos, en este apunte sólo se tratarán los polinomios
que tienen una sola variable indeterminada.
Adición De Polinomios: Dos polinomios se
suman agrupando los términos de uno y otro y simplificando los monomios
semejantes (del mismo grado). Para realizar en la práctica la suma de
dos polinomios se sitúan uno sobre otro haciendo coincidir en la misma
columna los términos de igual grado, con lo que la simplificación de
términos semejantes es automática. Pero puede hacerse más fácil la
operación reuniendo los términos de igual grado y sumarlos o restarlos
según su signo.
Para sumar P(x) = 3x4
– 5x2 + 7x con Q(x) = x3
+ 2x2 – 11x + 3
se procede así:
P(x) + Q(x) = (3x4
– 5x2 + 7x) + (x3 + 2x2
– 11x + 3)
= 3x4 + x3 + x2
(2– 5) + x (7 – 11) + 3 =
= 3x4
+ x3 – 3x2 – 4x + 3
La adición de polinomios cumple las propiedades
asociativa y conmutativa.
El polinomio cero es el número 0, pues sumado con
cualquier polinomio no lo altera, por lo que es el elemento neutro de la
suma. Todo polinomio tiene un opuesto, que se obtiene cambiando el signo
de todos sus monomios. Si a un polinomio le sumamos su opuesto se
obtiene el número 0 (polinomio neutro).
Se llama diferencia de dos polinomios, P(x) – Q(x)
, al resultado de sumarle a P(x) el opuesto de
Q(x).
Multiplicación De Polinomios:
Para
multiplicar dos polinomios se multiplica término a término cada monomio
de uno por cada monomio del otro y, posteriormente, se simplifican los
monomios semejantes.
A continuación, con un ejemplo, se ve cómo se procede
en la práctica para efectuar el producto de dos polinomios. Para los
polinomios
P(x) = 5x + 11 y Q(x) =
x3 + 2x2 + 4:
P(x) . Q(x) = (5x
+ 11) (x3 + 2x2 + 4) (aplicamos
distributiva)
P(x) . Q(x) = 5x4
+ 10x3 + 20x + 11x3 + 22x2
+ 44 (sumamos)
P(x) . Q(x) = 5x4
+ (10 + 11) x3 + 22x2 + 20x +
44
P(x) . Q(x) = 5x4
+ 21 x3 + 22x2 + 20x + 44
La multiplicación de polinomios cumple las
propiedades asociativa y conmutativa.
El polinomio unidad es el número 1, pues
multiplicando por cualquier polinomio no lo altera. Por tanto, es el
elemento neutro del producto. No existe polinomio inverso de otro, es
decir, en el conjunto de los polinomios con una indeterminada no hay
elemento inverso.
La multiplicación de polinomios es distributiva
respecto a la adición. Cualesquiera que sean los polinomios P(x),
Q(x), R(x), se verifica que:
P(x) · [Q(x)
+ R(x)] = P(x) · Q(x)
+ P(x) · R(x)
División de polinomios: Dados dos
polinomios P(x) (llamado dividendo) y Q(x)
(llamado divisor) de modo que el grado de P(x) sea
mayor que el grado de Q(x) y Q(x)
¹ 0 siempre hallaremos dos polinomios C(x)
(llamado cociente) y R(x) (llamado resto) tal
que: P(x) = Q(x)
. C(x) + R(x)
El grado de C(x) está
determinado por la diferencia entre los grados de P y Q, mientras que el
grado de R(x) será, como máximo, un grado menor
que Q.
Para obtener los polinomios cociente y resto a partir
de los polinomios dividendo y divisor se procede como en el ejemplo
siguiente, con
P(x) = 5x3 + 7x2
– 3 y Q(x) = x2 + 2x
– 1:
El cociente es C(x) = 5x – 3,
y el resto, R(x) = 11x – 6.
La descripción del proceso es la siguiente:
El primer monomio del cociente se obtiene dividiendo
el monomio de mayor grado del numerador por el del denominador: 5x3:
x2 = 5x
Se multiplica 5x por el divisor y el resultado
se resta del dividendo.
Una vez obtenida la diferencia se inicia el proceso
como si ésta fuera el dividendo.
El proceso concluye cuando la diferencia es de grado
inferior al divisor.
Cuando el resto de la división es cero, entonces se
dice que la división es exacta y que el dividendo, P(x),
es múltiplo del divisor, o bien que P(x) es
divisible por Q(x) y se cumple la relación:
P(x) = Q(x)
· C(x)
Teorema Del Resto: El resto de una
división de un polinomio en "x" por un binomio de forma (x
+ a) es el valor numérico del polinomio dividendo para "x"
igual al opuesto de "a".
R = P( - a ).
Por ejemplo, si P(x) = 3x4 -
5x2 + 3x – 20 para x = 2 se obtiene:
P(2) = 3. 24 – 5. 22 + 3. 2 – 20
= 14
Factorización
de un Polinomio: (Técnica de Gauss) Se dice que un número a es
raíz de un polinomio P(x) si P(a) = 0,
es decir, si el valor numérico del polinomio para x = a es
cero. Se suele decir, también, que el polinomio P(x)
se anula para x = a.
Por el teorema del resto, si a es una raíz del
polinomio P(x), entonces P(x) es divisible
por x – a, pues el resto de dividir P(x)
entre x - a es cero. A cada uno de esos valores se los
suele designar x1 , x2, x3,
etc
P(x)
= a0 xn + a1 xn
– 1 + . . . + a n
P(x)
= a0 (x – x1) (x –
x2) . . . (x – xn) (Polinomio
factorizado).
Habitualmente, para reconocer las raíces enteras de
un polinomio con coeficientes enteros se tiene en cuenta que éstas han
de ser divisores del término independiente. Así, las raíces enteras del
polinomio P(x) = x4 – 6x3
+ 9x2 + 4x – 12 están entre los divisores de
12. Por tanto, pueden ser raíces de P(x) los
números 1, –1, 2, –2, 3, –3, 4, –4, 6,– 6, 12 y – 12.
Para descomponerlo en factores se prueba
sucesivamente por todas ellas aplicando la regla de Ruffini. Para no
trabajar de más se aplica el teorema del resto verificando cual de estos
valores da como resto cero.
P(x) = x4
– 6x3 + 9x2 + 4x – 12
P(1) = 14 – 6.13
+ 9.12 + 4.1– 12 = – 4
Puesto que el resto, – 4, es distinto de 0, se
concluye que P(x) no es divisible por x
– 1, o lo que es lo mismo, 1 no es raíz de P(x).
Probando con –1:
P(– 1) = (– 1)4 – 6.(–
1)3 + 9.(– 1)2 + 4.(– 1) – 12 = 0
–1 es raíz de P(x), es
decir, P(x) es divisible por x + 1:
P(x) = (x + 1)(x3
– 7x2 + 16x – 12)
Para hallar más raíces de P(x),
se obtienen las raíces de
P(x) = x3
– 7x2 + 16x – 12. Se prueba de nuevo con
– 1:
P(– 1) = (– 1)3 –
7(– 1)2 + 16(– 1) – 12 = – 36
– 1 no es raíz de P1(x).
Probando con 2:
P(2) = (2)3 – 7(2)2
+ 16(2) – 12 = 0
2 es raíz de P1(x) y, por
tanto, de P(x):
P(x) = (x + 1)(x
– 2)(x2 – 5x + 6)
Apliquemos cuadrática
P(x) = (x + 1)(x
– 2) (x – 2) (x – 3)
2 es nuevamente raíz de P(x).
Es una raíz doble. Ahora ya se ha conseguido la factorización completa
de P(x):
P(x) = (x + 1)(x
– 2)2 (x – 3)
En caso de una ecuación polinómica, lo conveniente
es: igualar a cero, factorizar para hallar los resultados buscados
de x.
¿Cómo
analizar y graficar una función polinómica?
Ejercitación:
a) Decidir si las siguientes
expresiones son polinomios, en caso de no serlo indicar porqué
Respuesta: 1) si 2) No, potencia no natural 3) No,
raíz.
b) Halla el grado de cada uno de los
siguientes polinomios
1) P(x) = x2 + 3x – 42) P(x) = x4 + 5x7 – 4x
3) P(x) = x2 + 3x – 4x3 + 2
Respuesta: 1) Segundo grado. 2)
Séptimo grado. 3) Tercer grado
c) Indicar si los
polinomios están completos, ordenados o ambos. En caso de no estarlo escribirlos
completos y ordenados.
1) P(x) = 3x – 4 + x22) P(x) = x3 + 3x5 – 23) P(x) = 2x2 + 7x – 4x4 –1
Respuesta: 1) completo, no ordenado. 2) incompleto y no ordenado. 3) incompleto y no ordenado.
d) Halla el valor
numérico de los siguientes polinomios
1) P(x) = 3x2 – 4 x + 2 para x = 12) P(x) = 2x3 – 4 x2 + 2 x – 3 para x = - 1.3) P(x) = 4x2 – 5 x + 2 para x = 0
Respuesta: 1) 1 2) – 11
3) 2
e) Aplicar la regla
de Ruffini para calcular las siguientes divisiones y verificar el resto por el
teorema de resto.
Respuesta:
1) 7x2 + 10x +15,2) x + 2 (resto: 2),3) 5x3 – x2 – 2 (resto: – 3),4) 5x2 + 10x – 10
f) Indicar sin
realizar la división si los siguientes polinomios son divisibles
1) P(x) = x5 – 1 Q(x) = x – 12) P(x) = x3 – 1 Q(x) = x + 13) P(x) = x2 + 6x + 9 Q(x) = x + 34) P(x) = x4 – x2 – 12 Q(x) = x + 2
Respuesta: 1) si
2) no 3) si
4) si
g) Hallar el valor
de "k" para que los siguientes polinomios sean divisibles
1) P(x) = 3x2 + k x – 8 Q(x) = x – 22) P(x) = x2 + (k – 2) x+ 1 Q(x) = x + 23) P(x) = (3 + k)x2 + k2 x – 5 Q(x) = x – 1
Respuesta: 1) k = 2, 2) k = 9/2
3) k = 1 ó k = – 2.
h) Hallar las raíces
de los siguientes polinomios (factorizarlos)
1) P(x) = x2 – 5x + 62) Q(x) = 3x2 + 18x + 243) H(x) = x3 – 4x2 – x + 44) R(x) = x3 + x2 – 16 x – 16
Respuesta:
1) P(x) = (x – 3)(x – 2), 2) Q(x) = 3.(x + 2)(x + 4),3) H(x) = (x – 4)(x + 1)(x – 1), 4) R(x) = (x + 4)(x – 4)(x + 1)
i) Resolver los
siguientes problemas
1) Escribir todos los polinomios de grado tres cuya única raíz sea 3. ¿La
respuesta es única.?
Respuesta: P(x) = a
. (x – 3)3. No "a" puede tener muchos valores.
2) Escribir un polinomio de grado tres donde 4 sea una raíz doble y – 1 una raíz
simple, además que cumpla P(2) = 24 Hacer el gráfico aproximado
Respuesta: P(x) = 2.(x –
4)2 (x + 1)
3) Escribir el polinomio de grado tres sabiendo que P(–2) = P(1)
= P(5) = 0 y que P(0) = 50. Hacer el gráfico aproximado
Respuesta: P(x) = 5 (x +
2)(x – 1)(x + 5)
4) Hallar una función polinómica de grado dos que corte al eje x en los
puntos (3, 0 ) y (- 1, 0 ) y tal que f(0)
= 6. Hacer el gráfico aproximado
Respuesta: P(x) = 2 (x –
3)(x + 1)
5) Hallar la función polinómica de grado 3, cuyos ceros sean –1, 2 y 3, para que
verifique que f(1) = 12
Respuesta: P(x) =
- 3 (x + 1)(x – 2)(x – 3)
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