Análisis de función polinómica

Un polinomio es una función, donde el dominio depende de la cantidad de variables a los que esté sometido. En este caso analizaremos polinomios que dependen de una sola variable, x, por lo tanto el dominio son los R (reales).

Por ser función a cada valor de x le corresponde un solo valor de y  o (como estamos hablando de polinomios) P_(x).

El análisis y la gráfica son parecidos a los que hemos hecho con la parábola, así que comencemos por hallar los ceros o raíces de la función así podemos factorizar el polinomio.

El grado del polinomio nos indica la máxima cantidad de ceros que podemos hallar. En un binomio (dos términos) de grado 1, hallamos una sola raíz. En un polinomio de grado 2, podemos hallar hasta dos raíces, en uno de grado tres podemos encontrar hasta tres raíces...

Un matemático llamado Bolzano se dio cuenta que si las imágenes de dos valores distintos (y cercanos) de x tenían distintos signos, necesariamente debía haber un cero en el intervalo que los tenía a ellos (los valores de x) por extremos.

Lo interesante es que entre dos ceros consecutivos sólo hallamos un signo para todas las imágenes. Todas serán positivas o negativas.

Esta característica nos ahorra mucho trabajo ya nos permite saber si la gráfica del polinomio tendrá "panza para arriba" en el caso de imágenes positivas, o panza para abajo si son negativas. Lo único que tenemos que hacer es tomar un valor de x que pertenezca a ese intervalo y hallar el signo de la imagen.

Al igual que la parábola, aquí tenemos conjunto de positividad y de negatividad.

Nada mejor que un ejemplo para entender lo que hemos explicado...

Tomemos un polinomio de tercer grado,  y usando la técnica de Gauss, lo factorizamos. Así podremos analizar fácilmente al polinomio.

Tenemos los ceros de la función C^o = {– 2, 1, 5} coloquémoslos en un cuadro (justo aquí abajo). Para facilitar la comprensión, pinté de amarillo el cuadro de los ceros. Cada cero "divide" el dominio en intervalos los que he colocado en orden creciente (de menor a mayor) en el cuadro, el que tiene tres líneas punteadas, una para cada binomio de la ecuación factorial.

Ahora tomemos un número en cada intervalo para verificar el signo de la imagen en cada caso. 

En el primer intervalo que va desde el infinito de los negativos hasta menos dos, podemos tomar cualquier número que pertenezca al intervalo, arbitrariamente elijo al menos tres y con él calculo el signo de la imagen para cada binomio ya que el valor del resultado no me interesa, sólo el signo. Fíjense que nos quedan tres signos negativos, por la regla de los signos, el producto de los tres será negativo.

Coloquemos los signos en la columna correspondiente.

Podemos ver que el intervalo (– ∞, – 2) está incluido dentro de C^–.

Ahora hagamos lo mismo en el intervalo siguiente para ver el signo que queda al final.

Se puede tomar cualquier número que pertenezca al intervalo. En este caso elijo el 0 para que las cuentas resulten fáciles de resolver. No me interesan los resultados sino los signos. Como tengo una cantidad par de signos negativos el producto de los tres dará como resultado un signo positivo para todo el intervalo. O sea, todas las imagenes de ese intervalo son positivas.

Vemos que el intervalo ( – 2, 1) está incluido dentro de C⁺

Volvamos a repetir lo que hemos hecho, pero ahora con el intervalo siguiente (1, 5)

Y ahora lo hacemos con el último intervalo.

Podemos indicar los intervalos de positividad y negatividad que hemos encontrado y además podemos hacer el gráfico aproximado de este polinomio siguiendo lo que nos indica la tabla. En el caso de los intervalos cuyo extremo es infinito, los dibujamos abiertos, sin cerrar "la panza", mientras que los intervalos entre ceros hacemos "pancita para arriba" en los de positividad y "pancita para abajo" en los de negatividad.... (pueden reírse a gusto con mis metáforas matemáticas...)