Función Cuadrática

Es por todos sabido (al menos eso espero) que todo número elevado al cuadrado da como resultado un valor de signo positivo. Es así que la ecuación y = x²  tiene como dominio a todos los reales y como conjunto imagen los reales positivos, incluido el cero. El valor mínimo (en la imagen) de esta función será para x = 0, obteniendo el punto (0, 0), al que denominaremos vértice de la parábola.

Para f_(x) = x²    tenemos que el:  Dom: R ,  Img. : [0, + ¥), cuyo vértice (0, 0).

Si sumamos a la ecuación cuadrática (x²) una unidad, o sea, "x² + 1", la imagen se desplaza "uno" hacia arriba, de manera que el intervalo queda definido desde [1, + ¥)

Si restamos a la ecuación cuadrática (x²) una unidad, o sea, "x² -1" la imagen se desplaza "1" hacia abajo, de manera que el intervalo queda definido desde [-1, + ¥).

 f_(x)= x² + v_y, la parábola de desplaza sobre el eje y hacia abajo (- v_y) o hacia arriba (+ v_y)

Podemos preguntarnos ahora ¿qué sucedería si eleváramos un binomio (dos términos con letras y números) al cuadrado?. Por ejemplo (x + 1)². Como no sumamos "ningún número al cuadrado" la función no se desplaza en el eje de las "y", por lo tanto la segunda coordenada del vértice sigue siendo cero. Con respecto a la primer coordenada, para x² era "0", ese valor lo obtendremos si x = -1, de esa manera la parábola se desplaza "uno" hacia la izquierda.

Pongamos otro ejemplo, (x - 1)². Por la misma justificación, la parábola se desplaza "uno" a la derecha.

 f_(x)= (x + v_x)² la parábola de desplaza sobre el eje x hacia la derecha (- v_x) o hacia la izquierda (+ v_x)

Si aplicamos lo que acabamos de explicar al mismo tiempo tendremos una expresión (llamada canónica)  f_(x)= a (x + v_x)² + v_y donde el vértice será (- v_x, v_y). [a representa la concavidad de la parábola, al ser positiva el vértice es el valor mínimo de la función (mínimo), si es negativa la concavidad se invierte y el vértice es el mayor valor (máximo)].

 Para una parábola de vértice (2, 1) la ecuación deberá escribirse  

f_(x) = (x - 2)² + 1. (ver la figura de color violeta)

Otra forma de escribir la función cuadrática es en forma polinómica

f_(x) = ax² + bx + c

 Pasar de Polinómica a Canónica: (obtención de la ecuación cuadrática)

Factorizamos a para que la x² quede sola.

Mientras mantengamos la igualdad podemos hacer lo que se quiera. En la suma el cero es neutro, por lo tanto, si sumamos y restamos "lo mismo" mantenemos la igualdad. Como queremos obtener un binomio al cuadrado, completamos cuadrados.

Trinomio cuadrado perfecto: 

(x + y)² = x² + 2 x y + y².

Ecuación canónica :    f_(x)= a (x - v_x)² + v_y

Ceros de la función

También llamados "raíces", representa los valores de "x" cuya imagen tiene valor cero, (x, 0). Al ser cuadrática sólo se obtiene, como máximo dos valores, denominados x₁ y x₂. Estos valores (raíces) pueden utilizarse para expresar la función cuadrática en forma factorial:

  f_(x) = a (x - x₁) (x - x₂)

Operamos y despejamos el binomio al cuadrado.

Recordar que al resolver la raíz de un binomio al cuadrado queda el módulo de este.

Al sacar el módulo el resultado puede quedar positivo o negativo (para ahorrar espacio se ponen los dos signos juntos "+".

Lo único que queda es despejar la "x"

Esta ecuación se denomina "ecuación cuadrática" y será aplicada de aquí en más para hallar los ceros o resolver ecuaciones de segundo grado.

Graficar una función de segundo grado

Para graficar una función cuadrática se deben tener por lo menos tres puntos, "las raíces" y el vértice.

Grafiquemos f_(x) = x² + 5x - 6

La ordenada al origen es - 6, por lo tanto sabemos que el punto (0, - 6) pertenece a la función.

Hallemos el vértice de la parábola:

Ahora las raíces:

Con estos tres puntos podemos trazar la parábola:

Análisis de una función cuadrática

Ejercitación:

1)  Hallar la función cuadrática cuyo intervalo de positividad es (–5, – 2) y su gráfico contiene al punto P = (1; –3). 

Respuesta.: f_(x) = – 1/6 (x + 5) (x + 2)

2) Sea la función cuadrática f_(x) = a (x+3) (x – 1). Determinar el valor de a Î R de manera que la imagen sea el intervalo [–12; + ∞) Con el valor de a encontrado hallar conjunto de negatividad de f.

Respuesta.: a = 3  Vert. = (–1, – 12)  C ^– = (– 3, 1)

3) Sea f_(x) = 3x² + kx – 15. Hallar el valor real de k para que el vértice de la parábola determinada por f tenga abscisa x = – 2. Para el valor de k encontrado hallar los ceros de la función f.

Respuesta.: k = 12    C º = {– 5, 1}

4) Hallar la función cuadrática g que verifique g₍₃₎ = g₍₆₎ = 0 y g₍₀₎ = 2

Respuesta:  f_(x) = – 1/9 (x – 3) (x – 6)

5) Sea f_(x) =  (x + 12) (x – 4). Hallar el vértice del gráfico de f y calcular la distancia entre ese vértice y el punto P = (0, f ₍₀₎).

Respuesta: V = (– 4, – 64)  P = (0, – 48)  Dist.: √272

6)  Sea f_(x) = 3 (x – 1) (x – k). Hallar el valor de k pertenece a R de manera que el gráfico de la función corte al eje Y en el punto de ordenada 12. Para el valor de k hallado determinar el conjunto de crecimiento y decrecimiento.

Respuesta: k = 4.  Crece: (5/2, + ∞)

7) Sabiendo que el gráfico de f es un parábola que tiene vértice (3, 5) y pasa por (2, 8), hallar f y dar el intervalo de decrecimiento.

Respuesta: a = 3. f_(x) = 3 (x – 3)² + 5  Crece: (3, + ∞)

8) Sea f_(x) = 4x² + 16x + k determinar k para que la imagen de f sea [– 25, + ∞). Hallar el conjunto de ceros de la función.

Respuesta: k = – 9   C º = {– 9/2, – 1/2}